정부호 행렬은 에르미트 행렬이다
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정리
정부호 행렬 A∈Cn×n 은 에르미트행렬이다. 물론, 준정부호 행렬 또한 에르미트행렬이다.
증명
x∗Ax=λ
A 가 정부호 행렬이면 모든 x∈Cn 에 대해 위와 같이 이차 형식 x∗Ax 은 어떤 실수 λ∈R 에 대해 위와 같이 나타난다. 양변에 켤레전치를 취하면 λ∈R 의 복소수 켤레는 그 스스로인 λ=λ 이므로 다음을 얻는다.
⟹⟹x∗Ax=λx∗A∗x=λ=λx∗(A−A∗)x=0
이차 형식이 0이 되는 필요충분조건: 모든 x∈Cn 에 대해 이차 형식 x∗Ax 이 0 이 되는 필요충분조건은 A 가 영행렬인 것이다:
x∗Ax=0,∀x∈Cn⟺A=O
(A−A∗)=O 이므로 A 는 에르미트행렬이다.
증명 과정에서 λ 에 켤레를 취하는 점을 보면 정부호든 준정부호든 딱히 상관 없음을 알 수 있다.
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