정부호 행렬은 에르미트 행렬이다
정리
정부호 행렬 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 은 에르미트행렬이다. 물론, 준정부호 행렬 또한 에르미트행렬이다.
증명 1
$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda $$ $A$ 가 정부호 행렬이면 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 위와 같이 이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$ 은 어떤 실수 $\lambda \in \mathbb{R}$ 에 대해 위와 같이 나타난다. 양변에 켤레전치를 취하면 $\lambda \in \mathbb{R}$ 의 복소수 켤레는 그 스스로인 $\overline{\lambda} = \lambda$ 이므로 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} & \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} = \overline{\lambda} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} \left( A - A^{\ast} \right) \mathbf{x} = 0 \end{align*} $$
이차 형식이 0이 되는 필요충분조건: 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 이차 형식 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}$ 이 $0$ 이 되는 필요충분조건은 $A$ 가 영행렬인 것이다: $$ \mathbf{x}^{*} A \mathbf{x} = 0 , \forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} \iff A = O $$
$\left( A - A^{\ast} \right) = O$ 이므로 $A$ 는 에르미트행렬이다.
증명 과정에서 $\lambda$ 에 켤레를 취하는 점을 보면 정부호든 준정부호든 딱히 상관 없음을 알 수 있다.
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