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정부호 행렬은 에르미트 행렬이다 📂행렬대수

정부호 행렬은 에르미트 행렬이다

정리

정부호 행렬 ACn×nA \in \mathbb{C}^{n \times n}에르미트행렬이다. 물론, 준정부호 행렬 또한 에르미트행렬이다.

증명 1

xAx=λ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda AA 가 정부호 행렬이면 모든 xCn\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} 에 대해 위와 같이 이차 형식 xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} 은 어떤 실수 λR\lambda \in \mathbb{R} 에 대해 위와 같이 나타난다. 양변에 켤레전치를 취하면 λR\lambda \in \mathbb{R}복소수 켤레는 그 스스로인 λ=λ\overline{\lambda} = \lambda 이므로 다음을 얻는다. xAx=λ    xAx=λ=λ    x(AA)x=0 \begin{align*} & \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} = \overline{\lambda} = \lambda \\ \implies & \mathbf{x}^{\ast} \left( A - A^{\ast} \right) \mathbf{x} = 0 \end{align*}

이차 형식이 0이 되는 필요충분조건: 모든 xCn\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} 에 대해 이차 형식 xAx\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x}00 이 되는 필요충분조건은 AA영행렬인 것이다: xAx=0,xCn    A=O \mathbf{x}^{*} A \mathbf{x} = 0 , \forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n} \iff A = O

(AA)=O\left( A - A^{\ast} \right) = O 이므로 AA 는 에르미트행렬이다.


증명 과정에서 λ\lambda 에 켤레를 취하는 점을 보면 정부호든 준정부호든 딱히 상관 없음을 알 수 있다.