📂동역학

미분포함식의 정의

정의 ¹

미분포함식

다가사상, 혹은 집합값 사상^{multivalued mapping} $F : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같이 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 에서의 도함수 $\dot{x} = dx/dt$ 가 집합 $F(x)$ 의 원소 중 하나라는 것을 나타낸 식을 미분포함식^{differential inclusions}이라 한다. $$ \dot{x} \in F(x) $$

필리포프 미분포함식

$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 가 바운디드 함수라고 할 때, 초기 시점 $t_{0} \in \mathbb{R}$ 와 초기점 $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 미분 포함식을 필리포프 미분포함식^{Filippov differential inclusions} 이라 한다. $$ \begin{align*} \dot{x} (t) & \in F(x) \\ x \left( t_{0} \right) & = x_{0} \\ F(X) & = \bigcap_{\varepsilon > 0} \overline{\operatorname{conv} \left\{ f \left( B \left( x ; \varepsilon \right) \right) \right\} } \end{align*} $$ 여기서 $B \left( x ; \varepsilon \right)$ 은 오픈 볼, $\operatorname{conv} X$ 는 $X$ 의 컨벡스 헐, $\overline{X}$ 는 $X$ 의 클로져다.

설명

미분포함식은 미분방정식 중에서도 특히 상미분방정식의 일반화로 볼 수 있으며, 동역학계의 맥락에서는 각각의 $x \in \mathbb{R}^{n}$ 마다 단 하나의 벡터가 되어서 벡터필드가 되지 못하는 넌스무스 시스템의 일반적인 폼이 된다.

해의 존재성

필리포프 정리: 필리포프 미분포함식은 모든 초기값 $x \left( t_{0} \right) = x_{0}$ 에 대해 해를 가진다.

필리포프 미분포함식에 대해서는 해의 존재성이 알려져있다². 이러한 정리는 모든 넌스무스 미분방정식도 해를 반드시 가지지는 않는다는 점에서 중요하다. 예를 들어, 부호함수 $\sign$ 과 $a \in (0,1)$ 이라고 한다면 다음의 미분방정식은 초기조건 $x_{0} = 0$ 에 대해 해가 존재하지 않는다. $$ \begin{align*} \dot{x} (t) & = a - \sign \left( x (t) \right) \\ x \left( t_{0} \right) & = x_{0} \end{align*} $$