📂추상대수

상미분환과 편미분환

정의 ¹

링 $R$ 에서 정의되는 대수적 미분 $\Delta = \left\{ \partial_{1} , \cdots , \partial_{n} \right\}$ 들이 모든 $i,j = 1, \cdots, n$ 에 대해 $$\partial_{i} \left( \partial_{j} (r) \right) = \partial_{j} \left( \partial_{i} (r) \right) \qquad \forall r \in R$$ 를 만족하면 순서쌍 $\left( R , \Delta \right)$ 를 편미분환^{partial derivative ring}이라 한다. 특히 $\Delta$ 가 홑원소 집합^{singletone set}이라면, 즉 $\Delta = \left\{ d \right\}$ 라면 $\left( R , \Delta \right) = \left( R , d \right)$ 를 상미분환^{ordinary derivative ring}이라 한다.

설명

미분방정식이 크게는 상미분방정식과 편미분방정식으로 나뉘는 것을 보았으니, 대수적 미분을 연구하려던 사람들은 자연스럽게 처음부터 상미분과 편미분을 구분했을 것이다. 해석학에서의 미분과 특히 구분되는 것은 $\partial_{i} \partial_{j} = \partial_{j} \partial_{i}$ 와 같이 커뮤팅^commuting하는 것 자체가 조건으로 주어져 있다는 것이다. 보통은 연속성과 관련되는 성질이지만 대수에서는 아예 정의로써 못박은 점이 특이하다.