추상대수에서의 미분체
📂추상대수추상대수에서의 미분체
정의
R 이 (아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 d:R→R 을 미분derivation이라 하고,
d(x+y)=d(xy)=d(x)+d(y)d(x)y+xd(y)
순서쌍 (R,d) 를 미분환differential ring이라 한다. R 이 유니티 1 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 0∈R 에 대해 d(c)=0 를 만족하는 c∈R 의 집합은 1 포함한 R 의 서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환constant ring이라 부른다.
미분환 (F,∂) 의 F 가 필드면 미분체differential field라 부르고, 그 상수환을 상수체field of constant라 부른다.
설명
모든 필드는 링이므로 당연히 이러한 정의가 나올 수 밖에 없고, 실제로도 미분환 (R,d) 이 인티그럴 도메인이기만 해도 그에 대응되는 분수체는 미분체가 된다. 사실 그보다 더 조건을 완화해서 분수환에 대해서도 일반화한 정리는 있지만, 굳이 그러지 말고 인티그럴 도메인인 경우에 대해서만 간단히 알아보자.
정리
A 가 인티그럴 도메인이라고 하자.
(a,s)≡(b,t)⟺at=bs
A 와 S 의 카티션 프로덕트 A×S 에서의 동치관계 ≡ 를 위와 같이 정의할 때, (a,s) 의 동치류를 a/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S−1A:=A×S/≡ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 ⊕, ⊙ 을
sa⊕tb:=sa⊙tb:=stat+bsstab
과 같이 정의할 때, 필드 (S−1A,⊕,⊙) 을 A 의 분수체field of Fractions라 정의한다.
미분환 (R,d) 가 인티그럴 도메인이라고 하자. 그러면 R 의 분수체 F 에 대해 (F,∂) 가 미분체가 되게끔 하는 d 의 확장함수 ∂ 가 존재한다.
증명
대수적 미분 공식:
- [1]: R 의 덧셈에 대한 항등원 0 과 상수환의 원소 c 와 r∈R 에 대해 다음이 성립한다.
d(0)=d(1)=d(cr)=0d(c)=0cd(r)
- [3] R 의 유닛 u 과 r∈R 에 대해 다음이 성립한다.
d(ru−1)=[d(r)u−rd(u)]u−2
R 이 인티그럴 도메인이라고 가정했으므로 분수체 F 는 구체적으로 정해졌고, d:R→R 를 ∂:F→F 로 확장해도 (F,∂) 가 미분체의 조건을 만족시키는 것을 보이면 충분하다. 우선 모든 r∈R 에서는
d(r)=∂(r)
이라고 하자. b∈R 을 아무거나 하나 잡았을 때, b=0 이라면 임의의 a∈R 에 대해
d(a+b)=d(a+0)=d(a)+d(0)=d(a)+d(b)
이면서
d(ab)=d(0)=0=d(a)0+a0=d(a)b+ad(b)
를 만족한다. b 가 R 의 덧셈에 대한 항등원 0 이 아니라면, 분수체 F 에서는 b 가 유닛이므로 곱셈에 대한 역원 b−1=1/b 가 존재한다. 원래 d 의 정의역은 R 이므로 d(b−1) 는 정의되지 않았을 수도 있어서 이 정의역을 F 로 적절히 확장해주어야한다. 그 미분은 R 이 인티그럴 도메인이라는 가정 하에서 존재성이 보장된 유니티 1∈R 의 미분 d(1)=0=∂(1) 을 통해
0=∂(1)=∂(bb−1)=∂(b)b−1+b∂(b−1)⟹∂(b−1)=∂(b1)=−b2∂(b)
와 같이 정의할 수 있다. 여기서 F 의 연산은 분수체의 연산 ⊕, ⊙ 을 사용하고 있지만 가독성을 위해 +, ⋅ 으로 계속 적고 있음에 주의하자. 이 확장에 따르면
∂(a⋅b−1)===b2∂(a)b−a∂(b)∂(a)b2b+a⋅(−b2∂(b))∂(a)b−1+a∂(b−1)
이고
∂(a+b−1)======∂(bab+1)∂(ab+1)b−1+[ab+1]∂(b−1)∂(ab)b−1−[ab+1]b2∂(b)[∂(a)b+a∂(b)]b−1−[ab−1+b−2]∂(b)∂(a)+a∂(b)b−1−ab−1∂(b)+b−2∂(b)∂(a)+∂(b−1)
이다. 즉, R 에서 정의된 d 는 F 로 자연스럽게 확장되었다.
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