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추상대수에서의 미분체 📂추상대수

추상대수에서의 미분체

정의 1

RR(아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 d:RRd: R \to R미분derivation이라 하고, d(x+y)=d(x)+d(y)d(xy)=d(x)y+xd(y) \begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*} 순서쌍 (R,d)\left( R, d \right)미분환differential ring이라 한다. RR유니티 11 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 0R0 \in R 에 대해 d(c)=0d (c) = 0 를 만족하는 cRc \in R집합11 포함한 RR서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환constant ring이라 부른다.

미분환 (F,)\left( F, \partial \right)FF필드미분체differential field라 부르고, 그 상수환을 상수체field of constant라 부른다.

설명

모든 필드는 링이므로 당연히 이러한 정의가 나올 수 밖에 없고, 실제로도 미분환 (R,d)\left( R , d \right)인티그럴 도메인이기만 해도 그에 대응되는 분수체는 미분체가 된다. 사실 그보다 더 조건을 완화해서 분수환에 대해서도 일반화한 정리는 있지만, 2 굳이 그러지 말고 인티그럴 도메인인 경우에 대해서만 간단히 알아보자.

정리

AA인티그럴 도메인이라고 하자. (a,s)(b,t)    at=bs (a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs AASS카티션 프로덕트 A×SA \times S 에서의 동치관계 \equiv 를 위와 같이 정의할 때, (a,s)(a,s)동치류a/sa/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S1A:=A×S/S^{-1} A := A \times S / \equiv 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 \oplus, \odotasbt:=at+bsstasbt:=abst \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} 과 같이 정의할 때, 필드 (S1A,,)\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)AA분수체field of Fractions라 정의한다.

미분환 (R,d)\left( R, d \right)인티그럴 도메인이라고 하자. 그러면 RR분수체 FF 에 대해 (F,)\left( F, \partial \right) 가 미분체가 되게끔 하는 dd확장함수 \partial 가 존재한다.

증명

대수적 미분 공식:

  • [1]: RR 의 덧셈에 대한 항등원 00 과 상수환의 원소 ccrRr \in R 에 대해 다음이 성립한다. d(0)=0d(1)=d(c)=0d(cr)=cd(r) \begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*}
  • [3] RR유닛 uurRr \in R 에 대해 다음이 성립한다. d(ru1)=[d(r)urd(u)]u2 d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2}

RR 이 인티그럴 도메인이라고 가정했으므로 분수체 FF 는 구체적으로 정해졌고, d:RRd : R \to R:FF\partial : F \to F확장해도 (F,)\left( F, \partial \right) 가 미분체의 조건을 만족시키는 것을 보이면 충분하다. 우선 모든 rRr \in R 에서는 d(r)=(r) d \left( r \right) = \partial \left( r \right) 이라고 하자. bRb \in R 을 아무거나 하나 잡았을 때, b=0b = 0 이라면 임의의 aRa \in R 에 대해 d(a+b)=d(a+0)=d(a)+d(0)=d(a)+d(b) d \left( a + b \right) = d \left( a + 0 \right) = d (a) + d(0) = d(a) + d(b) 이면서 d(ab)=d(0)=0=d(a)0+a0=d(a)b+ad(b) d \left( a b \right) = d \left( 0 \right) = 0 = d (a) 0 + a 0 = d (a) b + a d(b) 를 만족한다. bbRR 의 덧셈에 대한 항등원 00 이 아니라면, 분수체 FF 에서는 bb 가 유닛이므로 곱셈에 대한 역원 b1=1/bb^{-1} = 1/b 가 존재한다. 원래 dd정의역RR 이므로 d(b1)d \left( b^{-1} \right) 는 정의되지 않았을 수도 있어서 이 정의역을 FF 로 적절히 확장해주어야한다. 그 미분은 RR 이 인티그럴 도메인이라는 가정 하에서 존재성이 보장된 유니티 1R1 \in R 의 미분 d(1)=0=(1)d(1) = 0 = \partial (1) 을 통해 0=(1)=(bb1)=(b)b1+b(b1)    (b1)=(1b)=(b)b2 0 = \partial (1) = \partial \left( b b^{-1} \right) = \partial (b) b^{-1} + b \partial \left( b^{-1} \right) \\ \implies \partial \left( b^{-1} \right) = \partial \left( {{ 1 } \over { b }} \right) = - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} 와 같이 정의할 수 있다. 여기서 FF 의 연산은 분수체의 연산 \oplus, \odot 을 사용하고 있지만 가독성을 위해 ++, \cdot 으로 계속 적고 있음에 주의하자. 이 확장에 따르면 (ab1)=(a)ba(b)b2=(a)bb2+a((b)b2)=(a)b1+a(b1) \begin{align*} \partial \left( a \cdot b^{-1} \right) =& {{ \partial(a) b - a \partial (b) } \over { b^{2} }} \\ =& \partial(a) {{ b } \over { b^{2} }} + a \cdot \left( - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \right) \\ =& \partial(a) b^{-1} + a \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} 이고 (a+b1)=(ab+1b)=(ab+1)b1+[ab+1](b1)=(ab)b1[ab+1](b)b2=[(a)b+a(b)]b1[ab1+b2](b)=(a)+a(b)b1ab1(b)+b2(b)=(a)+(b1) \begin{align*} \partial \left( a + b^{-1} \right) = & \partial \left( {{ ab + 1 } \over { b }} \right) \\ =& \partial \left( ab + 1 \right) b^{-1} + \left[ ab + 1 \right] \partial \left( b^{-1} \right) \\ =& \partial \left( ab \right) b^{-1} - \left[ ab + 1 \right] {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \\ =& \left[ \partial (a) b + a \partial(b) \right] b^{-1} - \left[ ab^{-1} + b^{-2} \right] \partial(b) \\ =& \partial (a) + a \partial(b) b^{-1} - ab^{-1} \partial(b) + b^{-2} \partial(b) \\ =& \partial (a) + \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} 이다. 즉, RR 에서 정의된 ddFF 로 자연스럽게 확장되었다.