📂추상대수

추상대수에서의 미분체

정의 ¹

$R$ 이 (아벨리안) 링이라 하자. 다음을 만족하는 함수 $d: R \to R$ 을 미분^derivation이라 하고, $$ \begin{align*} d \left( x + y \right) =& d (x) + d(y) \\ d \left( x y \right) =& d (x) y + x d(y) \end{align*} $$ 순서쌍 $\left( R, d \right)$ 를 미분환^{differential ring}이라 한다. $R$ 이 유니티 $1$ 를 가진다고 하자. 덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$ 에 대해 $d (c) = 0$ 를 만족하는 $c \in R$ 의 집합은 $1$ 포함한 $R$ 의 서브 링이며, 상수들의 링이라는 의미에서 상수환^{constant ring}이라 부른다.

미분환 $\left( F, \partial \right)$ 의 $F$ 가 필드면 미분체^{differential field}라 부르고, 그 상수환을 상수체^{field of Constant}라 부른다.

설명

모든 필드는 링이므로 당연히 이러한 정의가 나올 수 밖에 없고, 실제로도 미분환 $\left( R , d \right)$ 이 인티그럴 도메인이기만 해도 그에 대응되는 분수체는 미분체가 된다. 사실 그보다 더 조건을 완화해서 분수환에 대해서도 일반화한 정리는 있지만, ² 굳이 그러지 말고 인티그럴 도메인인 경우에 대해서만 간단히 알아보자.

정리

$A$ 가 인티그럴 도메인이라고 하자. $$ (a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs $$ $A$ 와 $S$ 의 카티션 프로덕트 $A \times S$ 에서의 동치관계 $\equiv$ 를 위와 같이 정의할 때, $(a,s)$ 의 동치류를 $a/s$ 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 $S^{-1} A := A \times S / \equiv$ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 $$ \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} $$ 과 같이 정의할 때, 필드 $\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)$ 을 $A$ 의 분수체^{field of Fractions}라 정의한다.

미분환 $\left( R, d \right)$ 가 인티그럴 도메인이라고 하자. 그러면 $R$ 의 분수체 $F$ 에 대해 $\left( F, \partial \right)$ 가 미분체가 되게끔 하는 $d$ 의 확장함수 $\partial$ 가 존재한다.

증명

대수적 미분 공식:

• [1]: $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 상수환의 원소 $c$ 와 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} d \left( 0 \right) =& 0 \\ d \left( 1 \right) =& d (c) = 0 \\ d \left( c r \right) =& c d \left( r \right) \end{align*} $$
• [3] $R$ 의 유닛 $u$ 과 $r \in R$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ d \left( r u^{-1} \right) = \left[ d (r) u - r d (u) \right] u^{-2} $$

$R$ 이 인티그럴 도메인이라고 가정했으므로 분수체 $F$ 는 구체적으로 정해졌고, $d : R \to R$ 를 $\partial : F \to F$ 로 확장해도 $\left( F, \partial \right)$ 가 미분체의 조건을 만족시키는 것을 보이면 충분하다. 우선 모든 $r \in R$ 에서는 $$ d \left( r \right) = \partial \left( r \right) $$ 이라고 하자. $b \in R$ 을 아무거나 하나 잡았을 때, $b = 0$ 이라면 임의의 $a \in R$ 에 대해 $$ d \left( a + b \right) = d \left( a + 0 \right) = d (a) + d(0) = d(a) + d(b) $$ 이면서 $$ d \left( a b \right) = d \left( 0 \right) = 0 = d (a) 0 + a 0 = d (a) b + a d(b) $$ 를 만족한다. $b$ 가 $R$ 의 덧셈에 대한 항등원 $0$ 이 아니라면, 분수체 $F$ 에서는 $b$ 가 유닛이므로 곱셈에 대한 역원 $b^{-1} = 1/b$ 가 존재한다. 원래 $d$ 의 정의역은 $R$ 이므로 $d \left( b^{-1} \right)$ 는 정의되지 않았을 수도 있어서 이 정의역을 $F$ 로 적절히 확장해주어야한다. 그 미분은 $R$ 이 인티그럴 도메인이라는 가정 하에서 존재성이 보장된 유니티 $1 \in R$ 의 미분 $d(1) = 0 = \partial (1)$ 을 통해 $$ 0 = \partial (1) = \partial \left( b b^{-1} \right) = \partial (b) b^{-1} + b \partial \left( b^{-1} \right) \\ \implies \partial \left( b^{-1} \right) = \partial \left( {{ 1 } \over { b }} \right) = - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} $$ 와 같이 정의할 수 있다. 여기서 $F$ 의 연산은 분수체의 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 사용하고 있지만 가독성을 위해 $+$, $\cdot$ 으로 계속 적고 있음에 주의하자. 이 확장에 따르면 $$ \begin{align*} \partial \left( a \cdot b^{-1} \right) =& {{ \partial(a) b - a \partial (b) } \over { b^{2} }} \\ =& \partial(a) {{ b } \over { b^{2} }} + a \cdot \left( - {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \right) \\ =& \partial(a) b^{-1} + a \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} $$ 이고 $$ \begin{align*} \partial \left( a + b^{-1} \right) = & \partial \left( {{ ab + 1 } \over { b }} \right) \\ =& \partial \left( ab + 1 \right) b^{-1} + \left[ ab + 1 \right] \partial \left( b^{-1} \right) \\ =& \partial \left( ab \right) b^{-1} - \left[ ab + 1 \right] {{ \partial(b) } \over { b^{2} }} \\ =& \left[ \partial (a) b + a \partial(b) \right] b^{-1} - \left[ ab^{-1} + b^{-2} \right] \partial(b) \\ =& \partial (a) + a \partial(b) b^{-1} - ab^{-1} \partial(b) + b^{-2} \partial(b) \\ =& \partial (a) + \partial \left( b^{-1} \right) \end{align*} $$ 이다. 즉, $R$ 에서 정의된 $d$ 는 $F$ 로 자연스럽게 확장되었다.

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