📂추상대수

분수환과 분수체

정의 ¹

링 $\left( A , + , \cdot \right)$ 에 대해 $S := A^{\ast} = A \setminus \left\{ 0 \right\}$ 는 $A$ 에서 덧셈 $+$ 에 대한 항등원 $0$ 이 빠진 부분집합 $S \subset A$ 이라고 하자.

분수체

$A$ 가 인티그럴 도메인이라고 하자. $$ (a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs $$ $A$ 와 $S$ 의 카티션 프로덕트 $A \times S$ 에서의 동치관계 $\equiv$ 를 위와 같이 정의할 때, $(a,s)$ 의 동치류를 $a/s$ 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 $S^{-1} A := A \times S / \equiv$ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 $$ \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} $$ 과 같이 정의할 때, 필드 $\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)$ 을 $A$ 의 분수체^{field of Fractions}라 정의한다.

분수환

$A$ 가 유니티 $1$ 을 가진다고 할 때, $1 \in S$ 이고 $\left( S , \cdot \right)$ 가 마그마라고 하자. $$ (a,s) \equiv (b,t) \iff \left( at - bs \right) u = 0 $$ 어떤 $u \in S$ 에 대해 $A$ 와 $S$ 의 카티션 프로덕트 $A \times S$ 에서의 동치관계 $\equiv$ 를 위와 같이 정의할 때, $(a,s)$ 의 동치류를 $a/s$ 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 $S^{-1} A := A \times S / \equiv$ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 $\oplus$, $\odot$ 을 $$ \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} $$ 과 같이 정의할 때, 링 $\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)$ 을 $A$ 의 분수환^{ring of Fractions}이라 정의한다.

설명

분수체의 모티브는 당연히 정수환 $\mathbb{Z}$ 에서 같은 방법으로 얻어지는 유리수체 $\mathbb{Q}$ 로써, 집합론에서 보통 동치관계를 처음 공부하면서 보는 예시를 그대로 추상화한 것이다.

분수체에서 $A$ 가 인티그럴 도메인이라는 전제는 $\equiv$ 가 소거법칙^{cancellation Law}를 통해 동치관계임을 보장하기 위해서, 즉 이항관계 $\equiv$ 가 반사적^reflexive이면서 대칭적^symmetric이면서 추이적^transitive이라는 것 중 추이성을 보일 때 필요하다. 분수환은 분수체의 일반화로써, $A$ 가 유니티를 가지는 링으로 완화되고 동치관계가 살짝 다르게 정의된다.

정의에서 자명하게도 $A$ 가 인티그럴 도메인이라면 $A$ 의 분수환은 분수체다. 이에 따라 $A$ 가 미분환이면 자연스럽게 미분체가 되기도 한다.