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분수환과 분수체 📂추상대수

분수환과 분수체

정의 1

(A,+,)\left( A , + , \cdot \right) 에 대해 S:=A=A{0}S := A^{\ast} = A \setminus \left\{ 0 \right\}AA 에서 덧셈 ++ 에 대한 항등원 00 이 빠진 부분집합 SAS \subset A 이라고 하자.

분수체

AA인티그럴 도메인이라고 하자. (a,s)(b,t)    at=bs (a,s) \equiv (b,t) \iff at = bs AASS카티션 프로덕트 A×SA \times S 에서의 동치관계 \equiv 를 위와 같이 정의할 때, (a,s)(a,s)동치류a/sa/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S1A:=A×S/S^{-1} A := A \times S / \equiv 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 \oplus, \odotasbt:=at+bsstasbt:=abst \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} 과 같이 정의할 때, 필드 (S1A,,)\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)AA분수체field of Fractions라 정의한다.

분수환

AA유니티 11 을 가진다고 할 때, 1S1 \in S 이고 (S,)\left( S , \cdot \right)마그마라고 하자. (a,s)(b,t)    (atbs)u=0 (a,s) \equiv (b,t) \iff \left( at - bs \right) u = 0 어떤 uSu \in S 에 대해 AASS카티션 프로덕트 A×SA \times S 에서의 동치관계 \equiv 를 위와 같이 정의할 때, (a,s)(a,s)동치류a/sa/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S1A:=A×S/S^{-1} A := A \times S / \equiv 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 \oplus, \odotasbt:=at+bsstasbt:=abst \begin{align*} {{ a } \over { s }} \oplus {{ b } \over { t }} :=& {{ at + bs } \over { st }} \\ {{ a } \over { s }} \odot {{ b } \over { t }} :=& {{ ab } \over { st }} \end{align*} 과 같이 정의할 때, (S1A,,)\left( S^{-1} A , \oplus , \odot \right)AA분수환ring of Fractions이라 정의한다.

설명

분수체의 모티브는 당연히 정수환 Z\mathbb{Z} 에서 같은 방법으로 얻어지는 유리수체 Q\mathbb{Q} 로써, 집합론에서 보통 동치관계를 처음 공부하면서 보는 예시를 그대로 추상화한 것이다.

분수체에서 AA 가 인티그럴 도메인이라는 전제는 \equiv 가 소거법칙cancellation Law를 통해 동치관계임을 보장하기 위해서, 즉 이항관계 \equiv 가 반사적reflexive이면서 대칭적symmetric이면서 추이적transitive이라는 것 중 추이성을 보일 때 필요하다. 분수환은 분수체의 일반화로써, AA 가 유니티를 가지는 링으로 완화되고 동치관계가 살짝 다르게 정의된다.

정의에서 자명하게도 AA인티그럴 도메인이라면 AA 의 분수환은 분수체다. 이에 따라 AA미분환이면 자연스럽게 미분체가 되기도 한다.


  1. Atiyah. (1994). Introduction to Commutative Algebra: p36~37. ↩︎