분수환과 분수체
📂추상대수분수환과 분수체
정의
링 (A,+,⋅) 에 대해 S:=A∗=A∖{0} 는 A 에서 덧셈 + 에 대한 항등원 0 이 빠진 부분집합 S⊂A 이라고 하자.
분수체
A 가 인티그럴 도메인이라고 하자.
(a,s)≡(b,t)⟺at=bs
A 와 S 의 카티션 프로덕트 A×S 에서의 동치관계 ≡ 를 위와 같이 정의할 때, (a,s) 의 동치류를 a/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S−1A:=A×S/≡ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 ⊕, ⊙ 을
sa⊕tb:=sa⊙tb:=stat+bsstab
과 같이 정의할 때, 필드 (S−1A,⊕,⊙) 을 A 의 분수체field of Fractions라 정의한다.
분수환
A 가 유니티 1 을 가진다고 할 때, 1∈S 이고 (S,⋅) 가 마그마라고 하자.
(a,s)≡(b,t)⟺(at−bs)u=0
어떤 u∈S 에 대해 A 와 S 의 카티션 프로덕트 A×S 에서의 동치관계 ≡ 를 위와 같이 정의할 때, (a,s) 의 동치류를 a/s 라 나타내고, 그 동치류들의 집합을 S−1A:=A×S/≡ 과 같이 나타내자. 새로운 두 연산 ⊕, ⊙ 을
sa⊕tb:=sa⊙tb:=stat+bsstab
과 같이 정의할 때, 링 (S−1A,⊕,⊙) 을 A 의 분수환ring of Fractions이라 정의한다.
설명
분수체의 모티브는 당연히 정수환 Z 에서 같은 방법으로 얻어지는 유리수체 Q 로써, 집합론에서 보통 동치관계를 처음 공부하면서 보는 예시를 그대로 추상화한 것이다.
분수체에서 A 가 인티그럴 도메인이라는 전제는 ≡ 가 소거법칙cancellation Law를 통해 동치관계임을 보장하기 위해서, 즉 이항관계 ≡ 가 반사적reflexive이면서 대칭적symmetric이면서 추이적transitive이라는 것 중 추이성을 보일 때 필요하다. 분수환은 분수체의 일반화로써, A 가 유니티를 가지는 링으로 완화되고 동치관계가 살짝 다르게 정의된다.
정의에서 자명하게도 A 가 인티그럴 도메인이라면 A 의 분수환은 분수체다. 이에 따라 A 가 미분환이면 자연스럽게 미분체가 되기도 한다.