유클리드 공간에서 내적이란
📂다변수벡터해석 유클리드 공간에서 내적이란 정의 벡터공간 V = R n V = \mathbb{R}^n V = R n x , y , z ∈ V \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V x , y , z ∈ V k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R
< ⋅ , ⋅ > : V 2 → R \left< \cdot , \cdot \right> : V^2 \to \mathbb{R} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V 2 → R < ⋅ , ⋅ > \left< \cdot , \cdot \right> ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ V V V
(1) 대칭성 : < x , y > = < y , x > \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = \left< \mathbf{y}, \mathbf{x} \right> ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩
(2) 가산성 : < x + y , z > = < x , z > + < y , z > \left< \mathbf{x} + \mathbf{y} , \mathbf{z} \right> = \left< \mathbf{x}, \mathbf{z} \right> + \left< \mathbf{y}, \mathbf{z} \right> ⟨ x + y , z ⟩ = ⟨ x , z ⟩ + ⟨ y , z ⟩
(3) 동질성 : < k x , y > = k < x , y > \left< k \mathbf{x} , \mathbf{y} \right> = k \left< \mathbf{x}, \mathbf{y} \right> ⟨ k x , y ⟩ = k ⟨ x , y ⟩
(4) 정부호 : < x , x > ≥ 0 \left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> \ge 0 ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 < x , x > = 0 ⟺ x = 0 \left< \mathbf{x} , \mathbf{x} \right> =0 \iff \mathbf{x}=\mathbb{0} ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0
특히 x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) \mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}) x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) \mathbf{y} = (y_{1}, y_{2}, \cdots , y_{n}) y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n )
< x , y > = x ⋅ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n = x T y
\left< \mathbf{x} , \mathbf{y}\right> = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \cdots + x_{n} y_{n} = \mathbf{x}^T \mathbf{y}
⟨ x , y ⟩ = x ⋅ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n = x T y
를 점적 혹은 유클리드 내적 이라 정의한다.
설명 원래 벡터공간 자체가 임의의 체 F \mathbb{F} F
그래도 대학교에서 내적을 배우면서 헷갈리는 이유는 고등학교 수준의 내적보다는 충분히 일반화가 되었기 때문이다. 내적 그 자체만 생각했을 때는 조건을 만족시키는 사상이 존재한다면 딱히 성분끼리 곱한다거나 할 이유가 없다. 우선 ‘기존에 알고 있던 내적’이 ‘대학교에서 배우는 내적 중 하나’인 점적이 되는 것부터 차이가 생기는 것이다. 그뿐만 아니라 n n n
[1]: ∥ x ∥ = x ⋅ x \left\| \mathbf{x} \right\| = \sqrt{ \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} } ∥ x ∥ = x ⋅ x x \mathbf{x} x 길이 로 정의한다. [2] d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(\mathbf{x}, \mathbf{y} ) = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\| d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y
[3] θ ∈ [ 0 , π ] \theta \in [0 , \pi] θ ∈ [ 0 , π ] cos θ = x ⋅ y ∥ x ∥ ∥ y ∥ \displaystyle \cos \theta = {{ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} } \over { \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\|}} cos θ = ∥ x ∥ ∥ y ∥ x ⋅ y x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y
[4] x ⋅ y = 0 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0 x ⋅ y = 0 x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y
3차원까지야 직접 계산하고 그려보면서 이러한 정의들이 직관과 일치함을 확인할 수 있지만, 4차원부터는 그게 불가능하다. 하지만 이렇게 현실을 초월하는 일반화야말로 수학의 묘미이자 강점이고, 이러한 정의만으로도 몇몇 정리를 쉽게 일반화 할 수 있다. 아래의 두 예시를 보자.
∥ x ∥ ∥ y ∥ ≥ < x , y >
\left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \ge \left< \mathbf{x} , \mathbf{y} \right>
∥ x ∥ ∥ y ∥ ≥ ⟨ x , y ⟩
코시-슈바르츠 부등식은 본디 네개의 미지수에 대해서 성립하던 부등식이지만, 내적을 이용해 쉽게 일반화 할 수 있다.
증명 임의의 스칼라 t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
( t x + y ) 2 = t 2 ( x ⋅ x ) + 2 t ( x ⋅ y ) + ( y ⋅ y )
( t \mathbf{x} + \mathbf{y} ) ^2 = t^2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}) + 2t (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )+ ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} )
( t x + y ) 2 = t 2 ( x ⋅ x ) + 2 t ( x ⋅ y ) + ( y ⋅ y )
t t t ( x ⋅ y ) 2 − ( x ⋅ x ) ( y ⋅ y ) ≤ 0 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} )( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) \le 0 ( x ⋅ y ) 2 − ( x ⋅ x ) ( y ⋅ y ) ≤ 0
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두 벡터 x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 = ∥ x + y ∥ 2 \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 = \left\| \mathbf{x} +\mathbf{y} \right\|^2 ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 = ∥ x + y ∥ 2
피타고라스의 정리 역시 원래는 평면 상의 삼각형에 대해서 성립하는 정리였다. 일반화를 위해서는 한 차원 한 차원 올릴때마다 낮은 차원의 피타고라스 정리를 계속 써야했지만, 내적을 사용하면 훨씬 쉽고 간결하다.
증명 ∥ x + y ∥ 2 = ( x + y ) 2 = ( x ⋅ x ) + 2 ( x ⋅ y ) + ( y ⋅ y ) = ∥ x ∥ 2 + 2 ( x ⋅ y ) + ∥ y ∥ 2
\begin{align*}
\left\| \mathbf{x} +\mathbf{y} \right\|^2 =& ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) ^2
\\ =& (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}) + 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )+ ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} )
\\ &= \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) + \left\| \mathbf{y} \right\|^2
\end{align*}
∥ x + y ∥ 2 = = ( x + y ) 2 ( x ⋅ x ) + 2 ( x ⋅ y ) + ( y ⋅ y ) = ∥ x ∥ 2 + 2 ( x ⋅ y ) + ∥ y ∥ 2
내각의 정의에 의해 ( x ⋅ y ) = cos θ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ) = \cos{\theta} \left\| \mathbf{x} \right\|^2 \left\| \mathbf{y} \right\|^2 ( x ⋅ y ) = cos θ ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y cos θ = 0 \cos{\theta} = 0 cos θ = 0
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더 일반화된 피타고라스의 정리 a 1 , a 2 , ⋯ , a n \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2,\ \cdots,\ \mathbf{a}_n a 1 , a 2 , ⋯ , a n
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = ∥ a 1 ∥ 2 + ∥ a 2 ∥ 2 + ⋯ + ∥ a n ∥ 2
\left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\|^2 = \left\| \mathbf{a}_1 \right\|^2 + \left\| \mathbf{a}_2 \right\|^2 +\cdots+ \left\| \mathbf{a}_n \right\|^2
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = ∥ a 1 ∥ 2 + ∥ a 2 ∥ 2 + ⋯ + ∥ a n ∥ 2
위의 정리를 n n n
증명 위에서 정의한 바에 따라서 아래의 식이 성립한다.
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = < a 1 + a 2 + ⋯ + a n , a 1 + a 2 + ⋯ + a n >
\left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\| ^2=\left< \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right>
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = ⟨ a 1 + a 2 + ⋯ + a n , a 1 + a 2 + ⋯ + a n ⟩
내적의 가산성에 의해서 위의 내적을 풀면 아래와 같다.
< a 1 , a 1 > + < a 1 , a 2 > + ⋯ + < a 1 , a n > + < a 2 , a 1 > + < a 2 , a 2 > + ⋯ + < a 2 , a n > + ⋯ + < a n , a 1 > + < a n , a 2 > + ⋯ + < a n , a n >
\begin{array} {l}
\left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_1 \right>+\left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_n \right>
\\ + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_1 \right> + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_n \right>
\\ +\cdots
\\ + \left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_1 \right>+\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots +\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_n \right>
\end{array}
⟨ a 1 , a 1 ⟩ + ⟨ a 1 , a 2 ⟩ + ⋯ + ⟨ a 1 , a n ⟩ + ⟨ a 2 , a 1 ⟩ + ⟨ a 2 , a 2 ⟩ + ⋯ + ⟨ a 2 , a n ⟩ + ⋯ + ⟨ a n , a 1 ⟩ + ⟨ a n , a 2 ⟩ + ⋯ + ⟨ a n , a n ⟩
가정에 의해 < a i , a j > = δ i j \left< \mathbf{a}_i,\ \mathbf{a}_j \right>=\delta_{ij} ⟨ a i , a j ⟩ = δ ij 0 0 0
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = < a 1 , a 1 > + < a 2 , a 2 > + ⋯ + < a n , a n > = ∥ a 1 ∥ 2 + ∥ a 2 ∥ 2 + ⋯ + ∥ a n ∥ 2
\begin{align*}
\left\| \mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\cdots+\mathbf{a}_n \right\|^2 =& \left< \mathbf{a}_1,\ \mathbf{a}_1 \right> + \left< \mathbf{a}_2,\ \mathbf{a}_2 \right>+\cdots+\left< \mathbf{a}_n,\ \mathbf{a}_n \right>
\\ =& \left\| \mathbf{a}_1 \right\|^2 + \left\| \mathbf{a}_2 \right\|^2 +\cdots+\left\| \mathbf{a}_n \right\|^2
\end{align*}
∥ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∥ 2 = = ⟨ a 1 , a 1 ⟩ + ⟨ a 2 , a 2 ⟩ + ⋯ + ⟨ a n , a n ⟩ ∥ a 1 ∥ 2 + ∥ a 2 ∥ 2 + ⋯ + ∥ a n ∥ 2
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