브룩의 보조정리 증명
정리 1
랜덤벡터 $Z : \Omega \to \mathbb{R}^{n}$ 의 확률질량함수 $p : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 에 대해 $Z$ 의 서포트를 다음과 같이 나타내자. $$ S_{Z} = \left\{ \left( z_{1} , \cdots , z_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} : p \left( z_{1} , \cdots , z_{n} \right) > 0 \right\} \subset \Omega $$ 모든 $\mathbf{x} := \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) \in S_{Z}$ 와 $\mathbf{y} := \left( y_{1} , \cdots , y_{n} \right) \in S_{Z}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ {{ p \left( \mathbf{x} \right) } \over { p \left( \mathbf{y} \right) }} = \prod_{k=1}^{n} {{ p \left( x_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) } \over { p \left( y_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) }} $$ 혹은 $p \left( \mathbf{x} \right)$ 에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ p \left( \mathbf{x} \right) = p \left( \mathbf{y} \right) \prod_{k=1}^{n} {{ p \left( x_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) } \over { p \left( y_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) }} $$
설명
조인트분포를 알면 마지널분포를 알 수 있지만, 일반적으로 독립이라는 가정이 없다면 마지널분포만으로 조인트분포를 알 수 있는 것은 아니다. 그러나 브룩의 보조정리는 제한적이나마 마지널분포에서 조인트분포를 얻을 수 있음을 보여준다.
증명
Part 1. 일변량분포
$\displaystyle p \left( x | y \right) = {{ p \left( x , y \right) } \over { p \left( y \right) }}$ 이므로 $$ \begin{align*} p \left( x , y \right) =& p \left( x | y \right) p (y) \\ =& p \left( y | x \right) p (x) \end{align*} $$ 에서 다음을 얻는다. $$ {{ p(x) } \over { p(y) }} = {{ p \left( x | y \right) } \over { p \left( y | x \right) }} $$ 혹은 $p (x)$ 에 대해 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ p(x) = {{ p \left( x | y \right) } \over { p \left( y | x \right) }} p(y) $$
Part 2. 다변량분포 2
본질적으로 이변량분포에 대해서 한 번만 하면 $n$변량에서도 마찬가지로 반복할 수 있다. $$ \begin{align*} p \left( x_{1} , x_{2} \right) =& p \left( x_{1} | x_{2} \right) p \left( x_{2} \right) \\ =& p \left( x_{1} | x_{2} \right) {{ p \left( x_{2} | y_{1} \right) } \over { p \left( y_{1} | x_{2} \right) }} p \left( y_{1} \right) \\ =& p \left( x_{1} | x_{2} \right) {{ p \left( x_{2} | y_{1} \right) } \over { p \left( y_{1} | x_{2} \right) }} {{ p \left( y_{2} | y_{1} \right) } \over { p \left( y_{2} | y_{1} \right) }} p \left( y_{1} \right) \\ =& {{ p \left( x_{1} | x_{2} \right) } \over { p \left( y_{1} | x_{2} \right) }} {{ p \left( x_{2} | y_{1} \right) } \over { p \left( y_{2} | y_{1} \right) }} p \left( y_{2} | y_{1} \right) p \left( y_{1} \right) \\ =& {{ p \left( x_{1} | x_{2} \right) } \over { p \left( y_{1} | x_{2} \right) }} {{ p \left( x_{2} | y_{1} \right) } \over { p \left( y_{2} | y_{1} \right) }} p \left( y_{1} , y_{2} \right) \\ =& p \left( y_{1} , y_{2} \right) \prod_{k=1}^{2} {{ p \left( x_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) } \over { p \left( y_{k} | x_{1} , \cdots , x_{k-1} , y_{k+1} , \cdots , y_{n} \right) }} \end{align*} $$
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