조화평균
정의
양수 $a,b > 0$ 에 대해 다음을 조화평균harmonic mean이라 한다. $$ H (a,b) := 2 \left( {{ 1 } \over { a }} + {{ 1 } \over { b }} \right)^{-1} = {{ 2 ab } \over { a + b }} $$ $n$개의 항 $x_{1} , \cdots , x_{n}$ 으로 일반화한 꼴은 다음과 같다. $$ H \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) := n \left( \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{-1} \right)^{-1} $$
정리
산술기하조화평균 부등식
$$ \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } } $$
평균속력
거리 $S$ 만큼 갈 때 속력 $a$ 로 이동하고 올 때 속력 $b$ 로 이동했다면 평균속력 $v$ 는 다음과 같이 두 속력의 조화평균으로 나타난다. $$ v = \frac { 2ab }{ a+b } $$
조화평균의 상한과 하한
$a,b > 0$ 의 조화평균은 $a$ 와 $b$ 사이의 값을 가진다. $\max$ 와 $\min$ 은 최대값과 최소값을 의미한다. $$ \min (a,b) \le H (a,b) \le \max (a,b) $$
설명
왜 ‘조화’라 부르는가?
대부분의 한국인들은 고등학교때 조화평균을 처음 접하나, 그 기괴한 수식과 수험 공부에서조차 잘 등장하지 않는 희소성 때문에 금방 흥미를 잃곤 한다. 무엇보다도 가장 받아들이기 어려운 것은 그 네이밍이다. 평균의 개념은 이해하기 쉽지만, 도대체 뭘 어쩌다가 역수의 합에 2를 곱한 $2 \left( {{ 1 } \over { a }} + {{ 1 } \over { b }} \right)$ 를 조화평균으로 부르는지는 직관으로 상상하기 어렵다.
기본적으로 수학에선 $\displaystyle {{ 1 } \over { a }}$ 처럼 역수를 취한 것에다 조화harmonic이라는 말을 붙이곤 하는데, 조화급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{ 1 } \over { n }}$ 등이 그 예시다. 이제 그러면 ‘왜 그런 것들에 조화라는 단어를가 붙느냐’가 궁금할 것이다.
지금부터 설명하는 내용은 어디서 읽어본 것 같은데 굳이 이제와서 잘 정리된 문헌을 찾는 게 귀찮아서 그냥 기억을 더듬어 적는 것이다. 그렇게까지 정확해야할 필요성을 못 느끼겠으니 믿거나 말거나 너무 진지하게 받아들이지 않길 바란다.
… 먼 옛날 피타고라스가 무리수의 존재를 받아들이지 못하던 시절, 피타고라스 학파는 세상의 모든 것들을 수학으로 설명할 수 있으며 모든 수는 유리수라고 믿었던 것 같다. 그 당시 현악기를 보면 줄을 튕겨서 소리가 나는데, 특히 어떤 현들은 동시에 소리를 냈을 때 듣기 좋다는 사실 자체는 널리 알려져 있었다. 그런데 이게 가만히 보면 악기의 크기가 어떻든 해당 현들간의 길이 비율만 맞으면 어디서나 재현되는 현상인데, 비율은 곧 분수―로 표현되는 것이며 그 비율이라는 걸 제일 열심히 연구한 게 바로 당시의 수학자들이었던 것이다. 당장 중학교만 가도 ‘삼각형의 닮음’이라는 걸 배우는데, 우리는 ‘비례식’이라는 걸 세우며 그 문제들을 풀어왔다.
한편 그렇게 여러 개의 현을 튕겨서 나올 수 있는 조합 중 ‘듣기 좋은 소리’를 ‘잘 어울리는 소리’라는 의미의 화음和音이라 했고, 그리스인들은 그리스 신화에서 화합의 여신 하모니아harmonia에서 유래된 하모니harmony라 불렀다. 여기까지의 설명이 납득된다면 분수꼴, 역수 등에 하필 조화라는 말이 붙는 게 어느정도 이해가 될 것이다.
다음의 어려워보이는 수식은 푸리에 급수라 부르는 것인데, 거기에 더해 푸리에 변환 같은 걸 연구하는 분야를 조화 해석harmonic Analysis이라 부른다. $$ \begin{align*} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) &= \lim \limits_{N \to \infty}\left[ \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \right] \\ &= \dfrac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) \end{align*} $$ 흔히 코사인과 사인 안에 있는 분수의 $\displaystyle {{ n \pi } \over { L }}$ 를 주파수frequency라 부르는데, 피타고라스 학파부터 이어져온 수학 역사의 흔적이라 볼 수 있지 않을까?
기하적인 의미
$$
\overline{XY} = {{ 2 \overline{AE} \cdot \overline{BF} } \over { \overline{AE} + \overline{BF} }}
$$
사실 이거 말고도 찾아보면 몇가지 더 있긴한데1, 수학적으로는 팩트 그 자체를 넘어 무슨 가치가 더 있는지는 잘 모르겠다. 사실 위 그림조차도 필자의 관점으로는 조화평균의 기하적인 의미를 설명했다기보단 조화평균이 어떻게 응용되는지를 기하적으로 설명한 것에 가깝다.
증명
조화평균의 상한과 하한
전략: $H(a,b)$ 가 어떻게 계산되든 사실 ‘평균’이라는 말이 붙었으니 당연히 $a$ 랑 $b$ 사이에 있기는 할테지만, 명명이 주는 직관에 의존하지 말고 $\min (a,b) \le H(a,b)$ 인 경우만 직접 증명해보자. 귀류법을 사용할 것이다.
$a=b$ 면 그 조화평균은 자명하게 $2ab / (a+b) = a = b = \min (a,b)$ 이므로 $a \ne b$ 인 경우만 생각하자. 일반성을 잃지 않고 $a < b$ 라 하면 $\min \left( a,b \right) = a$ 고, $H(a,b) < \min \left( a,b \right)$ 이라고 가정하자. 그러면 $$ \begin{align*} & H(a,b) < \min \left( a,b \right) \\ \implies & {{ 2ab } \over { a+b }} < a \\ \implies & 2b < a + b \\ \implies & b < a \end{align*} $$ 이고, 이는 $a < b$ 에 모순이므로 $H(a,b) \ge \min \left( a,b \right)$ 이어야 한다.
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