📂그래프이론

네트워크 이론에서의 스트레스 중심성

정의 ¹

네트워크 $\left( V, E \right)$ 에서 두 노드 $s,t \in V$ 를 잇는 최단 거리인 패스의 갯수를 $\sigma_{st} = \sigma_{ts}$ 라 하고, 특히 $s,t$ 를 잇는 패스 중 또 다른 노드 $v \in V$ 를 포함하는 패스의 갯수를 $\sigma_{st} (v)$ 와 같이 나타내자. 다음과 같이 정의된 $C_{S} : V \to \mathbb{Z}$ 를 노드 $v$ 의 스트레스 중심성^{stress Centrality}이라 한다. $$ C_{S} (v) := \sum_{s \ne v \ne t \in V} \sigma_{st} (v) $$

설명

$\sigma_{st} (v)$

$\sigma_{st}$ 의 정의를 잘 읽어보면 $s,t$ 사이의 최단거리 $d(s,t) = d(t,s)$ 가 아니라 그렇게 최단거리가 되는 경로의 수로, 모든 $v \in V$ 에 대해 $\sigma_{vv} = 1$ 이고 그래프의 거리 함수 $d$ 에 대해 $\sigma_{st} (v)$ 는 다음과 같다. $$ \sigma_{st} (v) = \begin{cases} 0 & , \text{if } d \left( s , t \right) < d \left( s , v \right) + d \left( v , t \right) \\ \sigma_{sv} \cdot \sigma_{vt} & , \text{otherwise} \end{cases} $$

직관적인 의미

스트레스 중심성은 1953년 심벨^shimbel에 의해 소개된 가장 오랜 중심성 중 하나로써, 수식인 $$ C_{S} (v) = \sum_{s \ne v \ne t \in V} \sigma_{st} (v) $$ 은 노드 $v \in V$ 가 모든 두 노드 $s, t \in V$ 사이를 중개함으로써 얼마나 최단 거리의 경로를 많이 만들어내는지를 나타낸다고 보면 된다. 자연계의 많은 현상… 예를 들어 물방울이 표면적을 최소화하고 운동의 작용이 최소가 되듯 두 노드를 잇는 방법 중에서는 가장 짧거나 빠른 경로에 관심이 많을수밖에 없고, 이렇게 최단거리의 경로에 자주 속하는 지점에는 가해지는 부하^stress도 많을 것이다. 이러한 직관적 의미에서, $C_{S} (v)$ 를 스트레스 중심성이라고 부르는 것은 꽤나 말이 된다.

후에는 스트레스 중심성을 보완한 척도로써 매개 중심성이 소개되었다.

같이보기

네트워크의 여러가지 중심성

• 차수 중심성
• 매개 중심성
  • 스트레스 중심성
• 근접 중심성
• 고유벡터 중심성