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제곱근 행렬 📂행렬대수

제곱근 행렬

정의 1

행렬 AA 에 대해 다음을 만족하는 행렬 BBAA제곱근 행렬square root matrix이라 하고 A:=B\sqrt{A} := B 와 같이 나타낸다. B2=A B^{2} = A

설명

행렬이라는 점에서 제곱근이라는 개념은 조금 더 흥미로워진다. 에를 들어 A=[2222] A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} 와 같은 행렬이 있다면 그 제곱근행렬은 각각의 성분에 제곱근을 취한 [2222] \begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{bmatrix} 이 아니라 다음과 같이 모든 성분이 11 인 행렬이다. [1111][1111]=[2222] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}

상상행렬

진짜 수학의 세계에서 중요한 건 아니지만 생새우초밥집에서는 E-E 의 제곱근 행렬, 즉 X2=Ep X^{2} = - E_{p} 을 만족하는 XX상상행렬imaginary matrix라 부르고 대해 연구하는 대회를 한 적이 있다.

유일성

일반적으로 제곱근 행렬은 유일하지 않으나, 양정부호 행렬의 경우에는 유일하게 존재한다.