📂확률분포론

왜정규분포

정의 ¹

로케이션^location $\xi \in \mathbb{R}$ 과 스케일^scale $\omega > 0$ 과 셰이프^shape $\alpha \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 확률분포 $SN \left( \xi , \omega , \alpha \right)$ 를 왜정규분포^{skew Normal distribution}라 한다. $$ \begin{align*} f(x) =& {{ 2 } \over { \omega }} \phi \left( {{ x - \xi } \over { \omega }} \right) \Phi \left( \alpha {{ x - \xi } \over { \omega }} \right) \\ =& {{ 2 } \over { \omega \sqrt{2 \pi} }} e^{-{{ \left( x - \xi \right)^{2} } \over { 2 \omega^{2} }}} \int_{- \infty}^{\alpha {{ x - \xi } \over { \omega }}} {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} e^{- {{ t^{2} } \over { 2 }}} dt \end{align*} $$ 여기서 두 함수 $\phi, \Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 는 각각 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf), 누적분포함수(cdf)다.

설명

왜정규분포는 이름 그대로 왜도가 $0$ 이 아닌 정규분포의 일반화로써, 그 번역은 국내 저널을 참고했다.²

코드

다음은 왜정규분포의 확률밀도함수가 $\alpha$ 에 따라 어떻게 변하는지를 애니메이션으로 시각화해주는 줄리아 코드다.

using Distributions, Plots

→ = 0:0.1:5
← = reverse(→)
a1 = @animate for α ∈ [→; ←; -→; -←]
    SN = SkewNormal(0, 1, α)
    x = -3:0.01:3
    plot(x, pdf.(SN, x),
    ylim = (0, 0.8),
    lw = 2, color = :black,
    legend = :none, title = "pdf of Skew Normal Distribution with α = $(lpad(α, 4))")
end
gif(a1, string(@__DIR__) * "/skew_normal.gif")