📂동역학

폰 푀르스터 방정식

모델 ¹

$$ {{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n \qquad t, a \in (0, \infty) $$ 위의 편미분방정식을 폰 푀르스터 방정식^{von Foester equation}이라 하며, 다음의 두 가지 디리클레 경계조건을 가진다.

• 연령 구조의 초기조건^{initial condition} $$ n \left( 0, a \right) = f(a) $$
• 출생수 $$ n \left( t, 0 \right) = \int_{0}^{\infty} b(a) n \left( t, a \right) da $$

변수

• $a$: 연령을 나타낸다. 예를 들어 $a = 10$ 이면 10살, $a = 54$ 면 54살이다.
• $n(t,a)$: $t$ 시점에서 연령이 $a$ 인 집단의 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $\mu (a) \ge 0$: 연령 $a$ 인 집단의 사망률^{death rate}이다.
• $b (a) \ge 0$: 연령 $a$ 인 집단의 번식률^{birth rate}이다.

설명

폰 푀르스터 방정식은 균일 진행파 편미분방정식을 수리생물학적으로 응용한 것으로써, 그 솔루션인 $n(t,a)$ 은 $t$ 시점에 연령 $a$ 인 인구가 얼마나 많은지를 모델링하고 있다. 그 모티브는 간단한데, $t$ 가 1만큼 흐르면 그만큼 인구 집단의 전체의 연령 $a$ 도 1만큼 증가하는 것을 진행파의 움직임으로 볼 수 있기 때문이다. 그 뿐만 아니라 파동의 감쇄율은 찰떡같이 사망률로 볼 수 있다. 보통 물리적인 문제에서와 다른 것은 $a = 0$ 의 경계가 상수 $0$ 이 아닌 $$ \int_{0}^{\infty} b(a) n \left( t, a \right) da $$ 와 같은 각 연령별 인구와 번식률의 함수내적으로 주어진다는 것이다. 시간이 흐른다는 거은 인구 구성원들이 나이를 먹는다는 것이고, 함수값이 낮아진다는 것은 그만큼 사망한다는 것이다.

여기서 인구라는 것은 물론 생태학적^ecological인 해석도 말이 되겠지만 세포의 수라든가 감염병과 연관을 짓기도 하고, 감염병 모델링의 맥락에서는 맥켄드릭-폰 푀르스터 방정식^{mcKendrick-Von Foerster equation}이라 부르기도 한다.

이산적 연령 구조 모델

레즐리 모델이 알려져있다.

유도

맬서스 성장 모델에 따라 인구수 $t$ 시점에서 연령이 $a$ 인 집단의 인구수 $n(t,a)$ 는 다음과 같은 상미분방정식으로 나타난다. $$ {{ d n (t,a) } \over { d t }} = - \mu (a) n (t,a) \implies d n (t,a) = - \mu (a) n (t,a) dt $$ 한편 $n (t,a)$ 자체의 전미분은 $$ d n (t,a) = {{ \partial n } \over { \partial t }} dt + {{ \partial n } \over { \partial a }} da $$ 이므로 다음을 얻는다. $$ {{ \partial n } \over { \partial t }} dt + {{ \partial n } \over { \partial a }} da = - \mu (a) n (t,a) dt $$ 연령의 변화는 정확히 시간의 변화와 같으므로 $da / dt = 1$ 이고, 자명하게도 $dt / dt = 1$ 이므로 양변에서 $dt$ 를 캔슬링해서 다음의 방정식을 얻을 수 있다. $$ {{ \partial n } \over { \partial t }} + {{ \partial n } \over { \partial a }} = - \mu \left( a \right) n (t, a) $$

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