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배리오그램의 정의 📂통계적분석

배리오그램의 정의

정의 1

유클리드 공간의 픽스된 부분집합 D⊂RrD \subset \mathbb{R}^{r} 에서 확률변수 Y(s):Ω→R1Y(s) : \Omega \to \mathbb{R}^{1} 의 집합인 공간과정 {Y(s)}s∈D\left\{ Y(s) \right\}_{s \in D} 와 방향벡터 h∈Rr\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r} 를 생각해보자. 구체적으로 n∈Nn \in \mathbb{N} 개의 사이트를 {s1,⋯ ,sn}⊂D\left\{ s_{1} , \cdots , s_{n} \right\} \subset D 과 같이 나타내고, Y(s)Y(s) 는 모든 s∈Ds \in D 에 대해 분산이 존재하는 것으로 가정한다. 다음과 같이 정의되는 2γ(h)2 \gamma ( \mathbf{h} ) 를 배리오그램variogram이라 한다. 2γ(h):=E[Y(s+h)−Y(s)]2 2 \gamma ( \mathbf{h} ) := E \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right]^{2} 특히 배리오그램의 절반 γ(h)\gamma ( \mathbf{h} ) 를 세미배리오그램semivariogram이라 한다.

설명

정상적 공간과정의 정의:

  1. 모든 s∈Ds \in D 에서 μ(s)\mu (s) 가 상수함수 μ(s):=μ\mu (s) := \mu 면서 s,s+hs , s + \mathbf{h} 둘 다가 DD 에 속하게 하는 모든 h\mathbf{h} 에 대해 공분산이 어떤 함수 CC 에 대해 다음과 같이 ss 에 무관하게 h\mathbf{h} 만의 함수 C:Rr→RC : \mathbb{R}^{r} \to \mathbb{R} 로 나타날 때, {Y(s)}\left\{ Y(s) \right\} 가 약한 정상성weak Stationarity을 가진다고 한다. Cov⁡(Y(s),Y(s+h))=C(h) \operatorname{Cov} \left( Y (s) , Y \left( s + \mathbf{h} \right) \right) = C \left( \mathbf{h} \right) 여기서 CC 를 공분산 함수covariance function 혹은 코배리오그램covariogram이라고 부른다.
  2. [Y(s+h)−Y(s)]\left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] 의 평균이 00 이면서 분산이 오직 h\mathbf{h} 에만 의존하면 {Y(s)}\left\{ Y(s) \right\} 가 내재적 정상성intrinsic Stationarity을 가진다고 한다. E[Y(s+h)−Y(s)]=0Var⁡[Y(s+h)−Y(s)]=2γ(h) \begin{align*} E \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] =& 0 \\ \Var \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] =& 2 \gamma ( \mathbf{h} ) \end{align*}

내재적 정상성

정의에서만 봤을 때 배리오그램 2γ(h)=E[Y(s+h)−Y(s)]22 \gamma ( \mathbf{h} ) = E \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right]^{2} 는 사실 ss 에도 의존하는 함수지만, 보통 못해도 주어진 공간과정이 내재적 정상적이라는 것을 가정한다. 반대로 내재적 정상성의 정의 자체도 2γ(h)2 \gamma ( \mathbf{h} ) 가 ss 에 의존하지 않는다는 조건을 가지고 있으므로 이 둘은 떨어뜨려놓고 생각할 수가 없다.

약한 정상성

약한 정상성의 정의에서 등장하는 C(h)C \left( \mathbf{h} \right) 를 공분산 함수라고 부르는 것은 자연스럽고, γ\gamma 가 없이도 단독적으로 정의될 수 있음에도 굳이 코배리오그램이라 부르는 이유는 다음과 같은 관계를 가지고 있기 때문이다.

정리

약한 정상적 공간과정 {Y(s)}s∈D\left\{ Y (s) \right\}_{s \in D} 에 대해, 세미배리오그램 γ(h)\gamma \left( \mathbf{h} \right) 과 코배리오그램 C(h)C \left( \mathbf{h} \right) 는 다음을 만족시킨다. Var⁡Y=γ(h)+C(h) \Var Y = \gamma \left( \mathbf{h} \right) + C \left( \mathbf{h} \right)

증명

공간과정 {Y}\left\{ Y \right\} 의 약한 정상성에 따라 모든 h∈Rr\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r} 에 대해 Cov⁡(Y(s),Y(s+h))=C(h)\operatorname{Cov} \left( Y (s) , Y \left( s + \mathbf{h} \right) \right) = C \left( \mathbf{h} \right) 에서 h=0\mathbf{h} = \mathbf{0} 와 같이 방향벡터에 영벡터를 대입해보면 다음을 얻는다. C(0)=Cov⁡(Y(s),Y(s))=Var⁡Y(s) C \left( \mathbf{0} \right) = \operatorname{Cov} \left( Y (s) , Y (s) \right) = \Var Y (s)

정상성의 포함관계: 강한 정상적 공간과정은 약한 정상적 공간과정이고, 약한 정상적 공간과정은 내재적이다. Strong  ⟹  Weak  ⟹  Intrinsic \text{Strong} \implies \text{Weak} \implies \text{Intrinsic}

한편 약한 정상적 공간과정은 내재적 정상적 공간과정이므로 모든 h∈Rr\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r} 에 대해 Var⁡[Y(s+h)−Y(s)]=2γ(h) \Var \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y(s) \right] = 2 \gamma ( \mathbf{h} ) 이 성립한다. 이를 거꾸로 풀어가보면 2γ(h)=Var⁡[Y(s+h)−Y(s)]=Var⁡[Y(s+h)]+Var⁡[Y(s)]−2Cov⁡[Y(s+h),Y(s)]=Cov⁡[Y(s+h),Y(s+h)]+Cov⁡[Y(s),Y(s)]−2Cov⁡[Y(s+h),Y(s)]=C(0)+C(0)−2C(h)=2[C(0)−C(h)]=2[Var⁡Y−C(h)] \begin{align*} & 2 \gamma \left( \mathbf{h} \right) \\ =& \Var \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) - Y (s) \right] \\ =& \Var \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) \right] + \Var \left[ Y (s) \right] - 2 \operatorname{Cov} \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) , Y (s) \right] \\ =& \operatorname{Cov} \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) , Y \left( s + \mathbf{h} \right) \right] + \operatorname{Cov} \left[ Y (s) , Y (s) \right] - 2 \operatorname{Cov} \left[ Y \left( s + \mathbf{h} \right) , Y (s) \right] \\ =& C ( \mathbf{0} ) + C ( \mathbf{0} ) - 2 C ( \mathbf{h} ) \\ =& 2 \left[ C ( \mathbf{0} ) - C ( \mathbf{h} ) \right] \\ =& 2 \left[ \Var Y - C ( \mathbf{h} ) \right] \end{align*} 이므로, 다음의 등식을 얻는다. γ(h)=Var⁡Y−C(h) \gamma \left( \mathbf{h} \right) = \Var Y - C \left( \mathbf{h} \right)

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같이보기

  • 아이소트로픽 배리오그램: 배리오그램이 방향에 의존하지 않고 오직 거리에만 의존할 때, 우리는 배리오그램이 아이소트로픽하다고 말한다.
  • 세미배리오그램의 모형: 세미배리오그램이 아이소트로픽할 때, x축을 d:=∥h∥d := \left\| \mathbf{h} \right\| 로 두고 y축을 γ(h)\gamma (h) 로 두고 그린 산점도를 특정 모델로 피팅해서 거리에 대한 분산이 어떻게 되는지 감을 잡을 수 있다. 이렇게 그림을 통해서 확인하는 점에서 2γ2 \gamma 와 CC 가 배리오'그램'이라 불리는 것이다.
  • 경험적 배리오그램 γ∗\gamma^{\ast}: 실제 데이터에서는 h\mathbf{h} 와 정확히 일치하는 관측치가 많이 없을 수 있다. 분석에 앞서 데이터가 어떤 가정을 만족하는지 γ∗\gamma^{\ast} 를 살펴봄직하다.

  1. Banerjee. (2015). Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data(2nd Edition): p24. ↩︎