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여인자와 고전수반행렬 📂행렬대수

여인자와 고전수반행렬

정의

정사각행렬 An×n=(aij)A_{n \times n} = (a_{ij}) 이 주어져 있다고 하자.

  1. AAii번째 행과 jj 번째 행을 제거한 행렬행렬식 MijM_{ij}소행렬식minor이라고 한다.
  2. Cij:=(1)i+jMijC_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}여인자cofactor라고 한다.
  3. 여인자의 행렬 C=(Cij)C = \left( C_{ij} \right)전치행렬 CTC^{T}고전수반행렬classical Adjugate matrix이라 하고 adj(A)\text{adj} (A) 라 나타낸다.

설명

여인자가 사용되는 가장 널리 알려진 결과는 아무래도 라플라스 전개다. 영문 표기인 Adjugate에는 Adj-가 붙어있는 것에서 짐작할 수 있듯 과거에는 이걸 그냥 수반행렬adjoint matrix이라 불렀나본데, 현대로 와서는 켤레전치행렬을 수반행렬이라 부를 때가 많기 때문에 그와 대비되는 표현으로써 고전수반행렬classical Adjoint matrix라 부르는 것 같다.

성질

항등행렬 II행렬식 det\det 에 대해 다음이 성립한다. Aadj(A)=det(A)I A \text{adj} (A) = \det (A) I 특히 AA가역행렬이면, 고전수반행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. adj(A)=det(A)A1 \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1}