📂행렬대수

여인자와 고전수반행렬

정의

정사각행렬 $A_{n \times n} = (a_{ij})$ 이 주어져 있다고 하자.

1. $A$ 의 $i$번째 행과 $j$ 번째 행을 제거한 행렬의 행렬식 $M_{ij}$ 을 소행렬식^minor이라고 한다.
2. $C_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij}$ 를 여인자^cofactor라고 한다.
3. 여인자의 행렬 $C = \left( C_{ij} \right)$ 의 전치행렬 $C^{T}$ 를 고전수반행렬^{classical Adjugate matrix}이라 하고 $\text{adj} (A)$ 라 나타낸다.

설명

여인자가 사용되는 가장 널리 알려진 결과는 아무래도 라플라스 전개다. 영문 표기인 Adjugate에는 Adj-가 붙어있는 것에서 짐작할 수 있듯 과거에는 이걸 그냥 수반행렬^{adjoint matrix}이라 불렀나본데, 현대로 와서는 켤레전치행렬을 수반행렬이라 부를 때가 많기 때문에 그와 대비되는 표현으로써 고전수반행렬^{classical Adjoint matrix}라 부르는 것 같다.

성질

항등행렬 $I$ 와 행렬식 $\det$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ A \text{adj} (A) = \det (A) I $$ 특히 $A$ 가 가역행렬이면, 고전수반행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1} $$