셔먼-모리슨 공식 유도
정리
가역행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 과 $\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \ne 0 \iff \exists : \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1} $$
셔먼-모리슨 공식
$\left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1}$ 이 존재할 때, 그 구체적인 공식은 다음과 같다. $$ \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1} = A^{-1} - {{ A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} $$
설명
셔먼-모리슨 공식의 용도 자체야 통계학에서 피어슨 정리를 증명하는 등에 쓰이는 등 얼마든지 있겠지만, 존재성 증명 자체만 보았을 때 당장 써먹을 수 있는 한가지 방법은 $A$ 에 작은 요동perturbation $\mathbf{u} \mathbf{v}^{T}$ 이 가해지거나, 특정한 행이나 열을 더하거나 뺐을때 여전히 역행렬이 존재하는지 쉽게 확인하는 것이다.
셔먼-모리슨 공식 자체는 기존에 구해놓은 $A^{-1}$ 를 통해 새로이 역행렬을 구하는 과정을 생략하고 행렬과 상수배, 덧셈과 뺼셈, 곱셈만으로 새로운 역행렬을 찾을 수 있음을 보여주고 있다. 역행렬을 처음부터 계산하는 수고에 비하면 이 정도는 계산이라고 할 수도 없을 정도로 효율적이다.
증명 1
존재성
행렬식 보조정리: 가역행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 과 $\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A $$
행렬식 보조정리에 따라 $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A $$ 인데 $A$ 는 가역행렬이라 가정했으므로 $\det A \ne 0$ 이고, $\det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = 0$ 이 성립하는 필요충분조건은 $\left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) = 0$ 이다.
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공식
그냥 $\left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)$ 과 $\left( A^{-1} - {{ A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} \right)$ 을 곱해서 항등행렬 $I$ 인지 확인하는 것으로 충분하다. $$ \begin{align*} & \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \left( A^{-1} - {{ A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} \right) \\ =& A A^{-1} + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} - {{ A A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} \\ =& I + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} - {{ \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} \\ =& I + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} - {{ \mathbf{u} \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \mathbf{v}^{T} A^{-1} } \over { 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} }} \\ =& I + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} - \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} A^{-1} \\ =& I \end{align*} $$ 곱셈의 좌우가 바뀌어도 똑같은데, 이는 생략한다.
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