📂복소해석

리만 구의 정의

정의 ¹

한 점 컴팩트화를 통해 확장복소평면 $\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \left\{ \infty \right\}$ 와 호메오멀픽한 $3$차원 단위구, 즉 $2$-스피어 $S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ 을 리만 스피어^{riemann Sphere}라 한다. $$ \widetilde{\mathbb{C}} := S^{2} \simeq \overline{\mathbb{C}} $$

설명

리만 스피어는 복소해석에서 복소평면을 단위구로 옮긴 것이다. 단위구는 말할 것도 없이 위상적으로 컴팩트하며, 그들 사이의 호메오멀피즘은 전단사기 이전에 연속이므로 집합의 개방성을 보존하므로 복소평면에서 무한대를 다루는 많은 작업들을 정당화해준다.

어떻게 그 작은 단위원과 그 큰 복소평면 사이에 일대일대응이 존재할 수 있는지 알아보자.

복소평면과의 일대일대응

$$ Z : \alpha \mapsto \widetilde{\alpha} $$ 스테레오그래픽 프로젝션^{stereographic projection} $Z$ 는 위와 같이 한 점 $\infty := \left( 0,0,1 \right)$ 에서 $xy$-복소평면의 한 점 $\alpha \in \mathbb{C}$ 로 직선을 쏘고 그 진행방향에서 단위구 $S^{2}$ 를 꿰뚫는 점 $\widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathbb{C}}$ 과 일대일대응 시키며, 이 사상은 말할 것도 없이 연속이다. 옆으로 편하게 누워서 $xu$-평면으로 보면

와 같고, 스테레오그래픽 프로젝션이 어떻게 평면과 구 사이의 연속인 사상이 되는지 알 수 있다. 복소평면에서 보자면 단위원 $\mathscr{C} := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z \right| = 1 \right\}$ 은 $Z$ 에 대한 고정점^{fixed point}들이고, $\mathscr{C}$ 외부의 점은 북반구, 내부의 점은 남반구로 대응되는 것을 확인할 수 있다. 다만 이러한 방식으로는 북극점은 그 스스로에 대한 자연스러운 대응이 존재하지 않으므로 한 점 컴팩트화를 통해 $\infty \in \overline{\mathbb{C}}$ 와의 대응을 직접 주어야한다.

좌표계

$Z : \mathbb{C} \to S^{2}$ 는 복소평면위의 점 $z = x + iy \in \mathbb{C}$ 을 $S^{2}$ 위의 점 $\left( X,Y,U \right) \in S^{2}$ 으로 다음과 같이 대응시킨다. $$ \begin{align*} Z (x,y) =& (X,Y,U) \\ X =& {{ 2x } \over { \left| z \right|^{2} + 1 }} \\ Y =& {{ 2y } \over { \left| z \right|^{2} + 1 }} \\ U =& {{ \left| z \right|^{2} - 1 } \over { \left| z \right|^{2} + 1 }} \end{align*} $$

현의 거리 ²

$z_{1} , z_{2} \in \mathbb{C}$ 의 이미지 $Z \left( z_{1} \right) , Z \left( z_{2} \right) \in \widetilde{\mathbb{C}}$ 사이의 거리 $d$ 를 코달 메트릭^{chordal Metric}이라 하고, 구체적으로 다음과 같이 정의한다. $$ d \left( Z \left( z_{1} \right) , Z \left( z_{2} \right) \right) := \begin{cases} {{ 2 \left| z_{1} - z_{2} \right| } \over { \sqrt{ \left( 1 + \left| z_{1} \right|^{2} \right) \left( 1 + \left| z_{2} \right|^{2} \right) } }} & , \text{if } z_{2} \ne \infty \\ {{ 2 } \over { \sqrt{ 1 + \left| z_{1} \right|^{2} } }} & , \text{if } z_{2} = \infty \end{cases} $$ 이에 따라 리만 스피어 $\left( \widetilde{\mathbb{C}} , d \right)$ 는 거리공간이고, 모든 $z_{1} , z_{2} \in \mathbb{C}$ 에 대해 $d \le 2$ 이므로 컴팩트하다.