복소평면에서 실수축의 비개방성
정리
$$ \mathbb{R}^{\circ} \ne \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$
실수축 $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ 은 복소평면 $\mathbb{C}$ 에서 오픈이 아니다.
설명
따라서 실수축은 복소공간에서 복소영역이 아니다. $\mathbb{R}$ 에서 $\mathbb{R}$ 은 오픈이라는 점을 생각해보면 직관과는 다소 다른 결과일 수 있다. 이는 본질적으로 집합의 개폐라는것이 애초에 주어진 위상공간에 따라 달라지는 상대적 개념이기 때문이다.
이러한 사실이 중요한 것은 우리가 흔히 다루려는 복소함수들이 사실 실함수에서도 정의될 수 있음에도 그들의 성질이 달라지는 대부분의 이유를 설명할 수 있기 때문이다. 복소해석의 많은 정리에서 조건으로써 복소영역, 즉 오픈된 복소부분집합 $\mathscr{R} \subset \mathbb{C}$ 을 요구한다. 여기서 오픈이라는 제약이 없다면 $\mathscr{R} = \mathbb{R}$ 이라고 둘 수 있고, 그걸 방치하면 많은 문제를 야기하게 된다.
다음의 증명은 $\mathbb{R}$ 이 단순히 ‘복소공간의 부분집합이라는 이유만으로는 진정한 의미의 복소영역이 될 수는 없다’는 사실을 시사하며, ‘당연히 $\mathbb{R}$ 은 복소공간으로 볼 수 없다’라는 직관을 엄밀하게 정당화한다.
증명
복소해석에서 오픈의 정의: $\alpha \in \mathbb{C}$ 이고 $\delta > 0$ 이고 $S \subset \mathbb{C}$ 라 하자.
- 다음과 같은 집합을 $\alpha$ 의 오픈 네이버후드open Neighborhood 혹은 오픈 볼open Ball이라 한다. $$ B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$
- $\alpha$ 의 어떤 오픈 볼이 $S$ 에 포함되면 $\alpha$ 를 $S$ 의 내점interior point이라 한다. $$ \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S $$
- $S$ 의 모든 점이 $S$ 의 내점이면 $S$ 가 열려있다open고 하고 $S$ 가 $S$ 의 모든 집적점을 포함하면 닫혀있다closed고 한다.
$\mathbb{R}$ 상에 있는 단 하나의 점이라도 $\mathbb{R}$ 의 내점이 아님을 보이면 충분하다. 일반성을 잃지 않고, $\alpha = 0$ 이라 두면 그 오픈 볼 $B (0, \delta)$ 는 어떤 반경 $\delta > 0$ 를 잡더라도 실수가 아닌 복소수 $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ 를, 구체적으로는 $$ z_{0} = 0 + i {{ \delta } \over { 2 }} $$ 정도는 반드시 포함한다. 다시 말해 $0 \in \mathbb{R}$ 은 $\mathbb{R}$ 의 내점이 아니고, $\mathbb{C}$ 에서는 $\mathbb{R}$ 의 모든 점이 $\mathbb{R}$ 의 내점이 아니므로 $\mathbb{R}$ 은 $\mathbb{C}$ 에서 열려있지 않다.
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일반화
곡선 $\gamma \subset \mathbb{C}^{n}$ 은 다차원 복소공간 $\mathbb{C}^{n}$ 에서 오픈이 아니다.
증명 과정에서의 논의를 살펴보면 $\mathbb{R}^{1}$ 이 아닌 이상은 결국 얇다란 커브의 어떤 점을 잡든 주변의 점을 포함할수밖에 없고, 실수축과 복소평면이 아니라도 정리가 성립함을 알 수 있다.