상수함수의 정의
정의
함수 $c : X \to Y$ 가 모든 $x_{1} , x_{2} \in X$ 에 대해 다음을 만족하면 상수 함수constant Funciton라 한다. $$ c \left( x_{1} \right) = c \left( x_{2} \right) $$
설명
보통 상수함수를 함수로써 처음 ‘인지’하게 되는 시작점은 상수함수의 미분법을 배울 때다. $$ \lim_{h \to 0} {{ c \left( x + h \right) - c \left( x \right) } \over { h }} = 0 $$ 이전까지 교과과정에서 대개는 함수라는 것이 무엇인지, 수라는 것이 무엇인지도 알기 어려워하며 우등생이 아닌 경우에는 항들을 ‘문자’와 ‘숫자’로 구분하는 등의 황당한 관점으로 수식을 바라보기도 한다(필자 역시 그랬다). 그러나 미분을 배우고 양변을 미분함으로써, 그 문자가 아닌―다항함수가 아닌 부분을 어떻게 처리해야하는지 고민하게 된다. 그 직후에 부정적분을 다루면서 $$ \int f(x) dx = F(x) + c $$ 과 같이 ‘어떤 상수 $c$’ 같은걸 표기하며 상수라는 개념에 익숙해진다. 재미있는 점은, 농담으로라도 수학에서 중요하다고 말할 수 없는 ‘상수함수’가 어떤 분과에서든 보편적으로 나타나는 타이밍이 있다는 것이다.
연속성
$X, Y$ 가 위상공간이라면 함수의 연속성을 논할 수 있다. 상수함수는 어떤 공간에서 정의되더라도 자명하게 연속함수며, 보통 $f : X \to \mathbb{Z}$ 와 같은 연속함수는 ‘정수인 함수값이 연속적으로 변할 수 없으므로 $f$ 가 다름아닌 상수함수’라는 식으로 등장한다.