구 껍질의 관성모멘트
📂고전역학 구 껍질의 관성모멘트 공식 반지름이 a a a m m m 관성모멘트 는 다음과 같다.
I = 2 3 m a 2
I=\frac{2}{3}ma^{2}
I = 3 2 m a 2
유도 반지름이 a a a m m m 구의 관성모멘트 를 구하는 것과 같은 아이디어를 사용한다. 다만, 조금의 차이가 있다. 구의 관성모멘트를 구할 때 처럼 구 껍질을 수 많은 원통 껍질의 합이라고 생각하자.
근데 여기서 구의 경우와 똑같이 계산하면 문제가 생긴다. 구의 경우 아래와 같이 작은 원판의 부피를 적분하면 구의 부피가 나온다.
∫ − r r π ( r 2 − z 2 ) d z = ∫ − r r π r 2 d z − ∫ − r r π z 2 d z = π r 2 [ z ] − r r − π [ 1 3 z 3 ] − r r = 2 π r 3 − 2 3 π r 3 = 3 4 π r 3
\begin{align*}
\int \nolimits _{-r} ^{r} \pi \left( r^{2} -z^{2} \right) dz &= \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi r^{2} dz - \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi z^{2}dz
\\ &= \pi r^{2} \left[ z \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{1}{3} z^{3} \right] _{-r} ^{r}
\\ &= 2 \pi r^{3} - \dfrac{2}{3}\pi r^{3}
\\ &= \dfrac{3}{4} \pi r^{3}
\end{align*}
∫ − r r π ( r 2 − z 2 ) d z = ∫ − r r π r 2 d z − ∫ − r r π z 2 d z = π r 2 [ z ] − r r − π [ 3 1 z 3 ] − r r = 2 π r 3 − 3 2 π r 3 = 4 3 π r 3
그런데 작은 원판의 겉넓이들의 합의 극한과 구의 겉넓이가 같지 않다. 문제는 바로 여기서 생긴다. 실제로 아래의 계산으로 이를 확인할 수 있다.
∫ − r r 2 π x d z = ∫ − r r 2 π r 2 − z 2 d z
\int _{-r} ^{r} 2\pi x dz = \int _{-r} ^{r} 2\pi \sqrt{ r^{2}-z^{2}} dz
∫ − r r 2 π x d z = ∫ − r r 2 π r 2 − z 2 d z
이 때 z ≡ r sin θ z \equiv r \sin \theta z ≡ r sin θ
∫ − r r ⟹ ∫ − π 2 π 2 & d z = r sin θ d θ
\int _{-r} ^{r} \implies \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \quad \And \quad dz=r \sin \theta d\theta
∫ − r r ⟹ ∫ − 2 π 2 π & d z = r sin θ d θ
∫ − π 2 π 2 2 π r 2 − r 2 sin 2 θ r cos θ d θ = 2 π r ∫ − π 2 π 2 r 2 1 − sin 2 θ cos θ d θ = 2 π r 2 ∫ − π 2 π 2 cos 2 d θ = π r 2 ∫ − π 2 π 2 ( 1 + cos 2 θ ) d θ = π r 2 [ θ + 1 2 sin 2 θ ] π 2 π 2 = π r 2 ( π ) = π 2 r 2 < 4 π r 2
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} 2 \pi \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^{2} \theta} r \cos\theta d\theta &= 2\pi r \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^{2}} \sqrt{1-\sin^{2}\theta} \cos\theta d\theta
\\ &= 2 \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} d\theta
\\ &= \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta
\\ &= \pi r^{2} \left[ \theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}
\\ &= \pi r^{2} (\pi )=\pi^{2} r^{2} < 4 \pi r^{2}
\end{align*}
∫ − 2 π 2 π 2 π r 2 − r 2 sin 2 θ r cos θ d θ = 2 π r ∫ − 2 π 2 π r 2 1 − sin 2 θ cos θ d θ = 2 π r 2 ∫ − 2 π 2 π cos 2 d θ = π r 2 ∫ − 2 π 2 π ( 1 + cos 2 θ ) d θ = π r 2 [ θ + 2 1 sin 2 θ ] 2 π 2 π = π r 2 ( π ) = π 2 r 2 < 4 π r 2
이므로 구의 겉넓이 보다 모자라다. 따라서 구의 겉넓이를 원판의 겉넓이들의 합으로 근사할 수 없다.
질량이 m m m r r r I = m r 2 I=mr^{2} I = m r 2
I sphere shell = ∫ d l = ∫ x 2 d m
I_{\text{sphere shell}}=\int dl=\int x^{2}dm
I sphere shell = ∫ d l = ∫ x 2 d m
위의 그림에서 구한 d m dm d m
∫ x 2 ρ 2 π x a d θ
\int x^{2} \rho 2 \pi \color{blue}{ x a d \theta}
∫ x 2 ρ 2 π x a d θ
이 때 θ \theta θ z z z
z = a sin θ ⟹ d z = a cos θ d θ , x = a cos θ
z=a\sin\theta \implies dz=a\cos\theta d\theta,\quad x=a\cos\theta
z = a sin θ ⟹ d z = a cos θ d θ , x = a cos θ
굳이 z z z θ \theta θ
∫ ( a 2 − z 2 ) ρ 2 π a cos θ a d θ = ρ 2 π a ∫ − a a ( a 2 − z 2 ) d z = ρ 2 π a [ a 2 z − 1 3 z 3 ] − a a = ρ 2 π a ( 2 a 3 − 2 3 a 3 ) = ρ 8 3 π a 4
\begin{align*}
\int ( a^{2}-z^{2})\rho 2 \pi \color{blue}{a \cos\theta ad\theta} &= \rho 2 \pi a \int \nolimits _ {-a} ^{a} ( a^{2}-z^{2})dz
\\ &= \rho 2 \pi a \left[ a^{2}z-\frac{1}{3}z^{3} \right]_{-a}^{a}
\\ &= \rho 2 \pi a (2a^{3}-\frac{2}{3}a^{3})
\\ &= \rho \dfrac{8}{3} \pi a^4
\end{align*}
∫ ( a 2 − z 2 ) ρ 2 π a c o s θ a d θ = ρ 2 πa ∫ − a a ( a 2 − z 2 ) d z = ρ 2 πa [ a 2 z − 3 1 z 3 ] − a a = ρ 2 πa ( 2 a 3 − 3 2 a 3 ) = ρ 3 8 π a 4
그리고 구 껍질의 질량은 m = ρ 4 π a 2 m=\rho 4 \pi a^{2} m = ρ 4 π a 2 ρ = m 4 π a 2 \rho = \dfrac{m}{4\pi a^{2}} ρ = 4 π a 2 m
I z = ρ 8 3 π a 4 = m 4 π a 2 8 3 π a 4 = 2 3 m a 2
I_{z}=\rho \dfrac{8}{3} \pi a^4=\dfrac{m}{4\pi a^{2}} \dfrac{8}{3} \pi a^4 = \dfrac{2}{3}ma^{2}
I z = ρ 3 8 π a 4 = 4 π a 2 m 3 8 π a 4 = 3 2 m a 2
구와 마찬가지로 구껍질 또한 모든 방향에서 대칭이므로 아래와 같다.
I x = I y = I z = 2 3 m a 2
I_{x}=I_{y}=I_{z}=\dfrac{2}{3}ma^{2}
I x = I y = I z = 3 2 m a 2
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이제 작은 원통의 겉넓이를 조금 다르게 근사시켜보자. 원통의 높이를 윗면과 아랫면의 수직 거리가 아니라 옆면의 거리라고 두고 풀자. 이렇게 두고 적분하면 원통의 겉넓이가 나온다. 궁금하면 직접 해보라.