구 껍질의 관성모멘트
공식
반지름이 $a$, 질량이 $m$인 구 껍질의 관성모멘트는 다음과 같다.
$$ I=\frac{2}{3}ma^{2} $$
유도
반지름이 $a$이고 질량이 $m$인 균일한 구 껍질을 생각해보자. 구의 관성모멘트를 구하는 것과 같은 아이디어를 사용한다. 다만, 조금의 차이가 있다. 구의 관성모멘트를 구할 때 처럼 구 껍질을 수 많은 원통 껍질의 합이라고 생각하자.
근데 여기서 구의 경우와 똑같이 계산하면 문제가 생긴다. 구의 경우 아래와 같이 작은 원판의 부피를 적분하면 구의 부피가 나온다.
$$ \begin{align*} \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi \left( r^{2} -z^{2} \right) dz &= \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi r^{2} dz - \int \nolimits _{-r} ^{r} \pi z^{2}dz \\ &= \pi r^{2} \left[ z \right]_{-r}^{r} - \pi \left[ \frac{1}{3} z^{3} \right] _{-r} ^{r} \\ &= 2 \pi r^{3} - \dfrac{2}{3}\pi r^{3} \\ &= \dfrac{3}{4} \pi r^{3} \end{align*} $$
그런데 작은 원판의 겉넓이들의 합의 극한과 구의 겉넓이가 같지 않다. 문제는 바로 여기서 생긴다. 실제로 아래의 계산으로 이를 확인할 수 있다.
$$ \int _{-r} ^{r} 2\pi x dz = \int _{-r} ^{r} 2\pi \sqrt{ r^{2}-z^{2}} dz $$
이 때 $z \equiv r \sin \theta$로 치환하면
$$ \int _{-r} ^{r} \implies \int _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \quad \And \quad dz=r \sin \theta d\theta $$
$$ \begin{align*} \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} 2 \pi \sqrt{r^{2}-r^{2}\sin^{2} \theta} r \cos\theta d\theta &= 2\pi r \int_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^{2}} \sqrt{1-\sin^{2}\theta} \cos\theta d\theta \\ &= 2 \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} d\theta \\ &= \pi r^{2} \int \nolimits _{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ &= \pi r^{2} \left[ \theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \pi r^{2} (\pi )=\pi^{2} r^{2} < 4 \pi r^{2} \end{align*} $$
이므로 구의 겉넓이 보다 모자라다. 따라서 구의 겉넓이를 원판의 겉넓이들의 합으로 근사할 수 없다.
이제 작은 원통의 겉넓이를 조금 다르게 근사시켜보자. 원통의 높이를 윗면과 아랫면의 수직 거리가 아니라 옆면의 거리라고 두고 풀자. 이렇게 두고 적분하면 원통의 겉넓이가 나온다. 궁금하면 직접 해보라.
질량이 $m$으로 균일하고 반지름이 $r$인 원통 껍질의 관성 모멘트는 $I=mr^{2}$이므로 구 껍질의 관성모멘트는 아래와 같다.
$$ I_{\text{sphere shell}}=\int dl=\int x^{2}dm $$
위의 그림에서 구한 $dm$값을 대입하면 다음을 얻는다.
$$ \int x^{2} \rho 2 \pi \color{blue}{ x a d \theta} $$
이 때 $\theta$에 대한 적분을 $z$에 대한 적분으로 바꿔주기 위해 아래의 관계식을 이용해서 파란색 부분을 잘 바꾸면 아래와 같다.
$$ z=a\sin\theta \implies dz=a\cos\theta d\theta,\quad x=a\cos\theta $$
굳이 $z$에 대해서 적분하는 이유는 $\theta$에 대해서 적분하는 것보다 쉽기 때문이다.
$$ \begin{align*} \int ( a^{2}-z^{2})\rho 2 \pi \color{blue}{a \cos\theta ad\theta} &= \rho 2 \pi a \int \nolimits _ {-a} ^{a} ( a^{2}-z^{2})dz \\ &= \rho 2 \pi a \left[ a^{2}z-\frac{1}{3}z^{3} \right]_{-a}^{a} \\ &= \rho 2 \pi a (2a^{3}-\frac{2}{3}a^{3}) \\ &= \rho \dfrac{8}{3} \pi a^4 \end{align*} $$
그리고 구 껍질의 질량은 $m=\rho 4 \pi a^{2}$이고 $\rho = \dfrac{m}{4\pi a^{2}}$이므로 다음을 얻는다.
$$ I_{z}=\rho \dfrac{8}{3} \pi a^4=\dfrac{m}{4\pi a^{2}} \dfrac{8}{3} \pi a^4 = \dfrac{2}{3}ma^{2} $$
구와 마찬가지로 구껍질 또한 모든 방향에서 대칭이므로 아래와 같다.
$$ I_{x}=I_{y}=I_{z}=\dfrac{2}{3}ma^{2} $$
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