📂위상데이터분석

곱공간의 기본군은 기본군들의 곱과 아이소멀픽하다

정리

$X, Y$ 가 위상공간이라고 하자. 그 (토폴로지) 데카르트 곱의 기본군과 그 각각의 (그룹) 데카르트 곱은 아이소멀픽하다. $$ \pi_{1} \left( X \times Y , \left( x_{0} , y_{0} \right) \right) \simeq \pi_{1} \left( X, x_{0} \right) \times \pi_{1} \left( Y, y_{0} \right) $$ 특히 $X, Y$ 가 모두 경로연결이라면 다음과 같이 기점을 생략할 수 있다. $$ \pi_{1} \left( X \times Y \right) \simeq \pi_{1} \left( X \right) \times \pi_{1} \left( Y \right) $$

증명 ¹

위상공간의 데카르트 곱에 대한 기본적인 성질에서 다음 두가지는 동치다.

• $f : Z \to X \times Y$ 가 연속이다.
• $f(z) = \left( g(z) , h(z) \right)$ 인 $g : Z \to X$ 와 $h(z) : Z \to Y$ 가 모두 연속이다.

따라서 $f$ 가 $X \times Y$ 의 $\left( x_{0} , y_{0} \right)$ 를 기점으로 한다는 것은 두 패스 $g, h$ 가 각각 $x_{0} \in X$ 와 $y_{0} \in Y$ 를 기점으로 한다는 것과 동치다. 이러한 논의는 호모토피 $F : I^{2} \to Z$ 와 $G : I^{2} \to X$, $H: I^{2} \to Y$ 에 대해서도 마찬가지다. 따라서 $$ \phi : \pi_{1} \left( X \times Y , \left( x_{0} , y_{0} \right) \right) \to \pi_{1} \left( X, x_{0} \right) \times \pi_{1} \left( Y, y_{0} \right) $$ 를 $\phi : [f] \mapsto \left( [g] , [h] \right)$ 와 같이 정의하면 이는 자명하게도 그룹 호모몰피즘이며, $\phi$ 가 전단사기 때문에 아이소멀피즘이 되기도 한다.

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