📂위상데이터분석

원의 기본군은 정수군과 동형이다

정리

단위원 $S^{1}$의 기본군 $\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 과 정수군 $\mathbb{Z}$ 는 아이소멀픽하다. $$ \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \simeq \mathbb{Z} $$ 여기서 $(1,0) \in \mathbb{R}^{2}$ 을 간단히 $1$ 이라고도 나타냈다.

설명

응용

호모토피를 공부하면서 가장 크고 중요한 결과로써 얻을 수 있는 정리가 바로 $S^{1}$ 의 기본군이 정수군이라는 것이다. 이의 응용으로써 다음과 같은 것들이 알려져 있다:

• 대수학의 기본정리^{fundamental Theorem of Algebra}의 위상수학적 증명
• 브라워의 고정점 정리^{brouwer Fixed Point theorem}
• 보르숙-울람 정리^{borsuk-Ulam theorem}

그러나 이 정리가 주는 의미는 위의 응용과 관계 없이 그 자체로도 고귀하다. 우선 점^point이 아니라 고리^loop로 공간을 연구하겠다는 대수위상의 아이디어에서, $S^{1}$ 은 그 무엇보다도 우선적으로 고려되어야 하는 대상이다.

직관적인 의미

기본적으로 ‘원의 기본군이 정수와 동형이다’라는 말은 그냥 루프를 반시계방향으로 감느냐(+) 시계방향으로 감느냐(-)를 몇번 하느냐(n)일 뿐이지만, 이러한 대수적 사실을 바탕으로 위상수학의 몇몇 어려운 분야에 도전할 수 있게 된다.

다차원 스피어의 기본군은 자명군이다

$$ \pi_{1} \left( S^{n} \right) \simeq 0 \qquad , n \ge 2 $$ $n \ge 2$ 에 대해 $n$-스피어 $S^{n}$ 의 기본군은 자명군^{trivial group}이다.

그냥 직관적으로 생각해봐도 $n = 2$ 일 때 $S^{2}$ 를 상상해보면 위 그림처럼 모든 루프는 표면을 타고 한 점으로 모일 수 있을 수밖에 없다. 구체적인 증명은 Hatcher를 참고하라¹.

증명 ²

Part 1. 함수 $\varphi$ 의 정의

기본군의 정의에 따라 모든 루프 $[f] \in \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 들은 $1$ 에서 시작해 $1$ 에서 끝나야 한다. $[f]$ 가 반시계 방향으로 한 바퀴 돌아 다시 $1$ 로 돌아오는 횟수를 $\deg_{+} (f)$ 이라 하고, 시계방향으로 도는 횟수를 $\deg_{-} (f)$ 이라 할 때 $\varphi : \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \to \mathbb{Z}$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ \varphi \left( \left[ f \right] \right) := \deg_{+} (f) - \deg_{-} (f) $$

모노드로미 정리: $1$-스피어 $S^{1}$ 에서 $1 := (1,0)$ 을 시점으로 가지며 동치인 두 패스 $f_{0} \simeq f_{1}$ 가 주어져 있다고 하자. 만약 그 각각의 리프트가 $\widetilde{f}_{0}, \widetilde{f}_{1}$ 가 $\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0)$ 을 만족한다면, $\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1)$ 이다.

$\widetilde{f} (0) = 0$ 이라 하면, 모노드로미 정리에 따라 유일한 $\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}$ 에 대해 $\varphi \left( [f] \right) = \widetilde{f} (1)$ 이고 $\varphi$ 는 함수임을 알 수 있다. 이제 $\varphi$ 가 아이소멀피즘임을 보이면 된다.

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Part 2. $\varphi$ 는 호모몰피즘이다

$l_{a} (f)$ 를 $a \in p^{-1} \left( f(0) \right)$ 에서 시작된 $f$ 리프트라 두면 $l_{0} (f) = \widetilde{f}$ 이고, 모든 $a \in \mathbb{R}$ 에 대해 $$ \left( l_{a} (f) \right) (t) = \widetilde{f} (t) + a $$ 이다. 여기서 $b \in \mathbb{R}$ 을 $b := \widetilde{f} (t) + a$ 라 두면, 패스의 연산 $\ast$ 에 대해 자명하게도 다음이 성립한다. $$ l_{a} \left( f \ast g \right) = l_{a} (f) \ast l_{b} (g) \qquad \cdots 🤔 $$ 이에 따라, $a = 0$ 일 때는 $b = \widetilde{f} (1)$ 이고 $[f] , [g] \in \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 에 대해 $$ \begin{align*} & \varphi \left( [f] [g] \right) \\ =& \varphi \left( \left[ f \ast g \right] \right) \\ =& \left( \widetilde{f \ast g} \right) (1) \\ =& l_{0} \left( f \ast g \right) (1) \\ =& \left( l_{0} (f) \ast l_{b} (g) \right) (1) \qquad \because 🤔 \\ =& l_{b} (g) (1) \\ =& b + \widetilde{g} (1) \\ =& \widetilde{f} (1) + \widetilde{g} (1) \\ =& \varphi \left( [f] \right) + \varphi \left( [g] \right) \end{align*} $$ 이므로 $\varphi$ 는 $\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 에서의 연산을 $\mathbb{Z}$ 에서도 보존시키는 호모몰피즘이다.

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Part 3. $\varphi$ 는 전사다

주어진 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\omega_{n} : I \to \mathbb{R}$ 를 $\omega_{n} (t) := n t$ 와 같이 정의하면 $$ p \circ \omega_{n} : I \to \mathbb{R} \to S^{1} $$ 은 $1 \in S^{1}$ 을 기점으로 하는 루프다. 정의에 따라 $\omega_{n}$ 은 $\omega_{n} (0) = 0$ 면서 $p \circ \omega_{n}$ 의 리프트고, $$ \varphi \left( [ p \circ \omega_{n} ] \right) = \varphi \left( p \circ \omega_{n} \right) = \omega_{n} (1) = n $$ 이다. 이렇게 모든 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $\varphi \left( [ p \circ \omega_{n} ] \right) = n$ 을 만족시키는 $[ p \circ \omega_{n} ] \in \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 이 존재하므로, $\varphi$ 는 전사^surjection다.

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Part 4. $\varphi$ 는 단사다

호모토피 리프팅 정리: 연속함수 $F : I^{2} \to S^{1}$ 은 리프트 $\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}$ 을 가진다. 특히 주어진 $x_{0} \in S^{1}$ 와 $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$ 에 대해, $\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$ 인 $\widetilde{F}$ 는 유일하게 존재한다.

$\varphi \left( [f] \right) = 0$ 이라 가정하자. 여기서 $0 \in \mathbb{Z}$ 은 그냥 $0$ 이 아니라 정수의 덧셈의 항등원으로써의 $0$ 이라는 점을 기억해야한다. 한편 이는 $f$ 의 리프트 $\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}$ 의 시점과 종점이 같다는 것이고, 리프트의 유일성에 따라 $$ \widetilde{f} (0) = \widetilde{f} (1) = 0 $$ 이므로 호모토피 리프팅 정리에 따라 $$ \begin{align*} F (0,t) =& \widetilde{f} (t) \\ F (1,t) =& 0 \\ F (s,0) = F (s,1) =& 0 \end{align*} $$ 를 만족하는 $F : I^{2} \to \mathbb{R}$ 이 존재한다는 것이다. 당연히 여기에 커버링(프로젝션) $p$ 를 취한 $$ p \circ F : I^{2} \to \mathbb{R} \to S^{1} $$ 은 다음을 만족시킨다. $$ \begin{align*} p \circ F (0,t) =& f (t) \\ p \circ F (1,t) =& 1 \\ p \circ F (s,0) = p \circ F (s,1) =& 1 \end{align*} $$ 즉 $[f] \in \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 은 $\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 의 항등원, 즉 컨스턴트 패스 $[f] = [c_{1}]$ 이고 $\ker \varphi = \left\{ \left[ c_{1} \right] \right\}$ 이다.

호모몰피즘의 커널의 성질:

• [3]: $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ $\iff$ $\phi$ 는 단사다.

마지막으로, 커널의 성질에 따라 $\varphi$ 은 단사^injection다.

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한편 Hatcher는 반대로 정의역과 공역을 뒤바꿔 $\phi : \mathbb{Z} \to \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 이 아이소멀피즘임을 보인다¹. 결국 같은 결과지만, 정의역과 공역을 반대로 둠으로써 모노드로미 정리 등을 언급하지 않고 증명하려는 시도가 담겨있다.