연속함수의 상대적 호모토피 📂위상데이터분석

연속함수의 상대적 호모토피

정의 ¹

$I = [0,1]$ 는 단위구간이고 $X, Y$ 가 위상공간이라고 하자. 두 연속 사상 $f_{0} , f_{1} : X \to Y$ 에 대해 $$ F (x , 0) = f_{0} (x) \\ F (x , 1) = f_{1} (x) $$ 를 만족하는 연속 사상 $F : X \times Y$ 이 존재하면 $f_{0}, f_{1}$ 가 호모토픽하다고 하며 $F$ 를 $f_{0}$ 와 $f_{1}$ 사이의 호모토피라 부른다.

$X$ 의 부분집합 $A \subset X$ 에 대해 $$ F(a,t) = f_{0} (a) \qquad , \forall a \in A , \forall t \in I $$ 를 만족하는 $f_{0}$ 와 $f_{1}$ 사이의 호모토피 $F : X \times I \to Y$ 가 존재하면 $f_{0}$ 와 $f_{1}$ 가 $A$ 에 상대적으로 호모토픽하다고 한다.

호모토피의 일반화는 단지 패스에서 정의되었던 호모토피를 연속사상에 대해서 일반화한 것에 지나지 않는다. $$ F : I \times I \to Y $$ 와 같은 호모토피가 두 패스 $f_{0} : I \to Y$ 와 $f_{1} : I \to Y$ 사이에 존재했던 것처럼, 이제는 그냥 정의역에서 앞에 있는 구간 $I = [0,1]$ 가 다음과 같이 일반적인 위상공간 $X$ 로 확장되었을 뿐이다. $$ F : X \times I \to Y $$
상대적 호모노피의 정의에 따라 모든 $a \in A$ 에서 $f_{0} (a) = f_{1} (a)$ 고, $F$ 를 $A$ 에 상대적인 호모토피라 부르며, $f_{0} \simeq_{\text{rel } A} f_{1}$ 혹은 $f_{0} \simeq\ f_{1} (\text{rel } A)$ 와 같이 나타낼 수도 있다. 호모토피가 상대적이라는 말 자체는 별 것 없이 그냥 $A$ 에선 변화 없이 딱 고정되어있다는 정도가 전부다. 당연하지만 정의에서 '상대적'이라는 표현이 없어지려면 그냥 $A = \empty$ 이면 된다.
실제 문헌들에서 상대적 호모토피가 가장 많이 쓰이는 방식은 호모토피 그 자체다. 단위구간 $[0,1]$ 의 양끝점 $\left\{ 0,1 \right\}$ 에서만 같다는 것을 표현하기 위해 다음과 같은 표기를 자주 볼 수 있다. $$ f \simeq_{\left\{ 0,1 \right\}} g $$