📂위상데이터분석

모노드로미 정리 증명

정리 ¹

$1$-스피어 $S^{1}$ 에서 $1 := (1,0)$ 을 시점으로 가지며 동치인 두 패스 $f_{0} \simeq f_{1}$ 가 주어져 있다고 하자. 만약 그 각각의 리프트가 $\widetilde{f}_{0}, \widetilde{f}_{1}$ 가 $\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0)$ 을 만족한다면, $\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1)$ 이다.

설명

$1 = (1,0)$

물론 $1 = (1,0)$ 은 엄밀히 따졌을 때 구분되어야하지만, 편의상 그냥 단위원 $S^{1}$ 에서 $1$ 이라고 하면 $(1,0)$ 외에 달리 언급할 게 없다. 실제로 다음과 같이 평면 속에 펼쳐진 수직선을 상상해보면 사실 그렇게까지 막 나가는 노테이션까지는 아니다. $$ \mathbb{R} \ni 1 = (1,0) \in \mathbb{R}^{2} $$

모노드로미?

정리의 스테이트먼트 자체가 말하는 것 자체는 담백하게 호모토픽한 패스들의 리프트들은 시점이 같을 때 종점도 같다는 것이다. 다만 그래서 뭐 어쩌라는 것인지는 아리송하다.

우선 적어도 여기서 소개한 모노드로미 정리라는 것이 $X = S^{1}$ 에 한정되어 있다는 점에 주목하자. 정리의 조건에서는 리프트의 시점이 $0$ 일 때 그 종점이 같다는 것이고, $\widetilde{X} = \mathbb{R}$ 속에 있는 나선에서 종점이 같다는 것은 $\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0)$ 을 기준으로 몇 바퀴를 돌았냐가 정확히 같다는 의미가 된다. 이에 따라 $S^{1}$ 의 기본군 $\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ 이 정수군 $\mathbb{Z}$ 과 아이소멀픽하다는 것을 보일 때 핵심적인 보조정리로 쓰인다.

한편 이렇게 몇 바퀴를 돌았냐는 결론을 이끌어내기 때문에 모노드로미^monodromy라는 표현이 등장한다. 리프트의 종점은 연속적이지만 회전한 횟수는 정수기 때문에 특이성^singularity이 보이게 되는데, 모노드로미가 어떤 의미인지 궁금해하지말고 이런걸 모노드로미라 부르는구나 하고 받아들이면 된다.

증명

호모토피 리프팅 정리: 연속함수 $F : I^{2} \to S^{1}$ 은 리프트 $\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}$ 을 가진다. 특히 주어진 $x_{0} \in S^{1}$ 와 $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$ 에 대해, $\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$ 인 $\widetilde{F}$ 는 유일하게 존재한다.

$f_{0}$ 와 $f_{1}$ 의 호모토피를 $F$ 라 하자. 가정과 호모토피 리프팅 정리에 따라 $\widetilde{F} (0,0) = \widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0)$ 인 리프트 $\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}$ 가 유일하게 존재하며, 호모토피인 $F(t,s)$ 의 정의에 따라 $$ \begin{align*} F (t,0) =& f_{0} (t) \\ F (t,1) =& f_{1} (t) \end{align*} \implies \begin{align*} \widetilde{F} (t,0) =& \widetilde{f}_{0} (t) \\ \widetilde{F} (t,1) =& \widetilde{f}_{1} (t) \end{align*} $$ 이며, $F(1,t) = f_{0}(1) = f_{1}(1)$ 이므로 $\widetilde{F} (1,t)$ 는 $\widetilde{f}_{0} (1)$ 에서 $\widetilde{f}_{1} (1)$ 까지의 패스다. 그러나 $$ \widetilde{F} (1,t) \in p^{-1} \left( f_{0} (1) \right) \simeq \mathbb{Z} $$ 이므로 패스 $\widetilde{F} (1,t)$, 즉 연속함수 $\widetilde{F} (1,t)$ 는 상수함수일수밖에 없다. 따라서 $\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1)$ 이다.

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