📂위상데이터분석

대수위상에서의 오일러 지표

정의 ¹

심플렉스 $\Delta$ 가 주어져 있다고 하자. $\Delta$ 의 버텍스의 수를 $n$, 에지의 수를 $m$, 페이스의 수를 $f$ 라고 할 때, $\Delta$ 의 오일러 지표^{euler Characteristic} $\chi$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ \chi := n - m + f $$

정리

위상공간 $X$에 대해 심플리셜 컴플렉스 $K$ 로 만들어지는 심플리셜 호몰로지 그룹이 주어져 있다고 할 때, 오일러 지표는 다음과 같이 일반화되며 계산될 수 있다.

오일러-푸앙카레 정리^{euler-Poincaré theorem}

호몰로지 그룹의 $p$번째 베티 수 $\beta_{p}$ 의 교대합을 $X$ 의 오일러 지표라 한다. $$ \chi = \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \beta_{p} $$ 이에 따라, 오일러 지표는 위상적 불변량^{topological Invariant}이다.²

오일러-푸앙카레 공식^{euler-Poincaré formula}

스미스 노멀 폼인 바운더리 행렬 $\partial_{p}$ 과 $\partial_{p-1}$의 이 주어져 있을 때, $\partial_{p}$ 의 영칼럼^{zero Column}의 수 $z_{p}$ 와 $\partial_{p-1}$ 의 대각성분 중 $1$ 의 수인 $b_{p-1}$ 에 대해 다음과 같이 구할 수 있다. $$ \begin{align*} \chi =& \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \left( z_{p} + b_{p-1} \right) \\ =& \sum_{p \ge 0} \left( -1 \right)^{p} \left( z_{p} - b_{p} \right) \end{align*} $$

유도

오일러-푸앙카레 정리의 자세한 증명은 생략한다. 멍크레스²를 참고하라.

호몰로지 그룹의 효율적 계산 가능성: $H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ 의 베티 수를 $\mathcal{C}$ 의 $p$번째 베티 수^{betti number}라 한다. 유한 컴플렉스 $K$ 의 $\beta_{p}$ 는 다음과 같다. $$ \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} $$

호몰로지 그룹의 베티 수는 바운더리 행렬의 스미스 노멀 폼을 통해 효율적으로 계산할 수 있으므로, 오일러-푸앙카레 정리에서 오일러-푸앙카레 공식을 얻는다.

설명

위상공간의 오일러 지표는 캐릭터리스틱^{characteristic}이라는 표현에서 알 수 있듯 위상적으로 변하지 않는^invariant, 즉 위상공간의 본질과 맞닿아 있는 수다. 이는 대중에게 알려진 위상수학의 컨셉에서 봤을 때 꽤 그럴싸하고 직관적인 설명인데, 예를 들어 정육면체가 되었든 구가 되었든 찰흙반죽처럼 주무르고 만져서 서로를 만들 수 있다면―호메오멀픽하다면 $\chi$ 는 같다.

• 정육면체는 $8$ 개의 버텍스, $12$ 개의 에지, $6$ 개의 페이스를 가지므로 $$\chi = 8 - 12 + 6 = 2$$
• 구는 적도를 이루기 위해 시점과 끝점이 같은 고리 하나가 필요해서 $1$ 개의 버텍스, $1$ 개의 에지를 가지고, 그 적도를 기준으로 북반구와 남반구를 가져서 $2$ 개의 페이스를 가지므로 $$\chi = 1 - 1 + 2 = 2$$

베티 수와의 관계

오일러-푸앙카레 정리에 따라 심플렉스에서 정의된 오일러 지표의 개념은 일반적인 위상공간으로 확장되며, 오일러-푸앙카레 공식에 따라 구체적으로 계산할 수 있다.

오일러 지표가 베티 수의 교대합으로 나타난다는 사실은 그 자체로 흥미로운 문장인데, 베티 수가 오일러 지표만으로는 파악할 수 없는 위상공간의 특성을 설명하는 동시에 오일러 지표의 직관적인 이해를 커버하기 때문이다. 어떻게 보면 오일러 지표를 각 $p$차원의 베티 수로 분해한 것인데, 학자들은 당연히 오일러 지표가 같으면서 베티 수가 다를 때의 현상에 관심을 가질수밖에 없다.

그래프이론에서의 오일러 표수

원래 오일러 표수는 그래프 이론에서 가장 유명한데, 오일러의 다면체 정리 혹은 오일러 공식은 연결 평면 그래프에 대해서 $\chi = 2$ 이라는 그래프이론의 정리다. 다면체가 그냥 우리가 생각하기 쉬운 컨벡스한 다면체도 아니고 심플렉스처럼 복잡해지면 이 포스트에 소개한 일반화된 정의가 필요해진다.

기하학에서의 오일러 지표

가우스-보네 정리의 방정식을 만족시키는 정수로써 정의된다.

대수위상에서의 오일러 지표

각 차원의 베티 수의 교대합으로써 정의된다.