호몰로지 그룹의 베티 수

개요

기하적인 의미를 생각하지 않을 때 담백하게 정의만 적어보자면, 대수위상^{algebraic Topology}에서 베티 수^{betti number}란 단지 체인 컴플렉스에서 호몰로지 그룹의 랭크에 불과하다. 문제는 이러한 설명이 베티 수의 의미를 궁금해하는 이에게 전혀 도움이 되지 않으며, 그 구체적인 계산 또한 막막하기 때문에 예시로써 익히기도 어렵다는 것이다.

이 포스트에서는 적어도 두번째 질문에 대한 답―베티 수를 어떻게 구하는지에 대한 정리와 그 상세한 증명을 소개한다. 아래에 소개되는 정리에 따르면 주어진 체인 컴플렉스에 따라 어떤 행렬을 찾을 수 있으며, 그에 대한 일련의 계산과정을 통해 다음과 같은 명시적^explicit인 공식을 도출할 수 있다. $$ \beta_{p} = \rank ?_{1} - \rank ?_{2} $$

본디 수학적인 내용일수록 수학을 사용하지 않고 전달할 수 있는 것이 가장 좋은 설명이지만, 베티 수의 경우에는 그 공식의 유도과정 속에서 그 근본적인 원리를 깨달을 수 있다고 본다. 학부생 정도라면 증명의 난이도가 꽤 높아서 따라오기 어렵겠지만, 최대한 생략 없이 자세하게 풀어썼으니 적어도 한 번 시도는 해보는 걸 추천한다.

정리

호몰로지 그룹의 정의:
$n \in \mathbb{N}_{0}$ 이라 하자. 아벨리안 그룹 $C_{n}$ 와 호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 의 체인 $$ \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$ 이 모든 $n$ 에 대해 $$ \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 $$ 를 만족하면 $\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ 을 체인 컴플렉스^{chain Complex}라 한다.
쿼션트 그룹 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 을 $\mathcal{C}$ 의 $n$번째 호몰로지 그룹^{$n$-th Homology group}이라 한다.
호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 를 바운더리^boundary 혹은 미분^differential 오퍼레이터라 부른다.
$Z_{n} := \ker \partial_{n}$ 의 원소를 $n$-사이클^cycles, $B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 의 원소를 $n$-바운더리^boundary라 부른다.

프리 체인 컴플렉스의 표준 기저 분해

체인컴플렉스 $\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{p}, \partial_{p} \right) \right\}$ 의 모든 $C_{p}$ 가 유한 랭크를 가지는 프리 그룹이라 하자. 그러면 모든 $p$ 와 $Z_{p} := \ker \partial_{p}$ 에 대해 다음을 만족하는 부분군 $U_{p}, V_{p}, W_{p} \subset C_{p}$ 과 가 존재한다. $$ \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ =& U_{p} \oplus Z_{p} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} \partial_{p} \left( U_{p} \right) \subset & W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} $$ 물론 $Z_{p}$ 는 $\partial_{p}$ 의 커널이므로 $\partial_{p} \left( V_{p} \right) = 0$ 이고 $\partial_{p} \left( W_{p} \right) = 0$ 이다. 더 나아가, $U_{p}$ 에서 $\partial_{p}$ 의 제한함수 ${\partial_{p}}_{| U_{p}} : U_{p} \to W_{p-1}$ 는 다음과 같은 꼴의 스미스 노멀 폼을 가진다. $$ \begin{bmatrix} b_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{l} \end{bmatrix} $$ 여기서 $b_{i} \in \mathbb{N}$ 이고 $b_{1} \mid \cdots \mid b_{l}$ 다.

호몰로지 그룹의 효율적 계산가능성 ¹

$H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ 의 베티 수를 $\mathcal{C}$ 의 $p$번째 베티 수^{betti number}라 한다. 유한 컴플렉스 $K$ 의 $\beta_{p}$ 는 다음과 같다. $$ \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} $$ 그 구체적인 값은 다음과 같이 $\partial_{p}$ 의 스미스 노멀 폼에 의해 계산할 수 있다. 그림에서 파란 점선은 $1$ 인 대각성분, 주황 실선은 $1$ 이 아닌 대각성분을 나타내며 그 외의 모든 성분은 $0$ 이다².

여기서 중요한 것은 스미스 노멀 폼에서 $1$ 의 갯수 $\rank B_{p-1}$ 와, 영벡터인 칼럼의 수 $\rank Z_{p}$ 다.

증명 ³

Part 1. $B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}$

$$ \begin{align*} Z_{p} :=& \ker \partial_{p} \\ B_{p} :=& \operatorname{Im} \partial_{p+1} \\ W_{p} :=& \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} \end{align*} $$ 이라 두자. 특히 $W_{p}$ 는 $C_{p}$ 의 부분군이 되며, $\lambda = 1$ 만 생각했을 때 $B_{p} = W_{p}$ 라는 점에서 바운더리^boundary $B_{p}$ 의 조건을 약화시킨 것으로 볼 수 있으므로 약한 바운더리^{weak Boundaries}라 부른다.

$W_{p}$ 의 정의에서 $\lambda \ne 1$ 을 생각해보면 $$ B_{p} \subset W_{p} $$
$Z_{p}$ 의 정의에서 $\forall z_{p} \in Z_{p}$ 는 $\partial_{p} z_{p} = 0$ 고, $Z_{p} = \ker \partial_{p}$ 는 $\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1}$ 이므로 $$ Z_{p} \subset C_{p} $$
$C_{p}$ 는 프리 그룹이라 가정했으므로 토션-프리, 즉 $\forall z_{p} \in Z_{p} \subset C_{p}$ 에 대해 $\lambda z_{p} = 0$ 를 만족하는 $\lambda \ne 0$ 이 존재하지 않는다. 한편 모든 $c_{p+1} \in C_{p+1}$ 에 대해 $$ \partial_{p+1} c_{p+1} = \lambda z_{p} \in W_{p} $$ 의 양변에 $\partial_{p}$ 를 취해보면 $$ 0 = \partial_{p} \partial_{p+1} c_{p+1} = \partial_{p} \lambda z_{p} = \lambda \partial_{p} z_{p} $$ 이므로 $\partial_{p} z_{p} = 0$ 이어야 한다. 이는 $\lambda z_{p} \in W_{p}$ 이면 $\lambda z_{p} \in Z_{p}$ 라는 것이므로 $$ W_{p} \subset Z_{p} $$

이와 같은 고찰에서 우리는 다음의 포함관계를 얻는다. $$ B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p} $$

Part 2. $W_{p} \subset Z_{p}$ 는 $Z_{p}$ 의 피직합군^{direct Summand}이다

$p$번째 호몰로지 그룹 $H_{p} \left( \mathcal{C} \right) = Z_{p} / B_{p}$ 의 정의에서 $$ \text{proj}_{1} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ 은 잉여류 $B_{p}$ 에 해당하는 만큼의 랭크가 떨어진 프로젝션이고
$H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ 의 토션 서브 그룹 $T_{p} \left( \mathcal{C} \right) \subset H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ 에 대해 $$ \text{proj}_{2} : H_{p} \left( \mathcal{C} \right) \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ 역시 프로젝션이다.

제1동형 정리: 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$$

이에 따라 $\text{proj} := \text{proj}_{1} \circ \text{proj}_{2}$ 와 같이 정의된 $$ \text{proj} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ 역시 프로젝션이다. $W_{p}$ 의 원소는 $\partial_{p+1} d_{p+1}$ 와 같이 표현되었으므로, 이 프로젝션 $\text{proj}$ 의 커널은 $W_{p}$ 고 모든 프로젝션은 전사^surjection이므로 제1동형 정리에 따라 $$ Z_{p} / W_{p} \simeq H_{p} / T_{p} $$ 가 성립한다. 여기서 우변의 $H_{p}$ 가 어떻게 생겨먹었든 토션 서브 그룹 $T_{p}$ 로 쳐냈으니 토션-프리고, 이에 따라 좌변의 $Z_{p} / W_{p}$ 역시 토션 프리임이 보장된다. 그러면 $\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}$ 가 $Z_{p} / W_{p}$ 의 기저고, $\alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l} \in W_{p}$ 가 $W_{p}$ 의 기저라 두었을 때, $\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}, \alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l}$ 은 $Z_{p}$ 의 기저가 된다. 따라서 $Z_{p}$ 는 $$ Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p} $$ 와 같이 $\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}$ 을 기저로 가지는 부분군 $V_{p}$ 과 $W_{p}$ 의 직합으로 나타낼 수 있다.

Part 3. $Z_{p}, B_{p-1}, W_{p-1}$ 의 기저

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼: 프리 아벨리안 그룹 $G$, $G'$ 의 랭크가 각각 $n,m$ 이고 $f : G \to G'$ 가 호모몰피즘이라면, 다음과 같은 행렬을 가지는 호모몰피즘 $g$ 가 존재한다. $$ \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n} $$ 여기서 $d_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N}$ 이고 $d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$, 즉 $d_{k}$ 는 $d_{k+1}$ 의 약수^divisor여야한다.

$\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1}$ 는 다음과 같은 스미스 노멀 폼의 $m \times n$ 행렬을 갖는다.

$$ \begin{matrix} & \begin{matrix} e_{1} & \cdots & e_{l} & e_{l} & \cdots & e_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e'_{1} \\ \vdots \\ e'_{l} \\ e'_{l} \\ \vdots \\ e'_{m} \end{matrix} & \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \end{matrix} $$

이에 우리는 직접적인 계산을 통해 다음 세가지를 보일 것이다:

(1): $e_{l+1} , \cdots , e_{n}$ 은 $Z_{p}$ 의 기저다.
(2): $b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ 은 $B_{p-1}$ 의 기저다.
(3): $e'_{1} , \cdots , e'_{l}$ 은 $W_{p-1}$ 의 기저다.

소증명

$\partial_{p}$ 의 정의에 따라 일반적인 $c_{p} \in C_{p}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ c_{p} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} e_{i} \implies \partial_{p} c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} $$
(1): $b_{i} \ne 0$ 이므로, $Z_{p} = \ker \partial_{p}$ 인 필요충분조건은 $i = 1 \cdots , l$ 에 대해 $a_{i} = 0$ 이다. 따라서 $e_{l+1} , \cdots , e_{n}$ 은 $Z_{p}$ 의 기저다.
(2): 모든 $\partial_{p} c_{p} \in B_{p-1}$ 는 $b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ 의 선형결합으로 표현되고, $b_{i} \ne 0$ 이므로 $b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ 는 $B_{p-1}$ 의 기저다.
(3): $b_{i} e'_{i} = \partial e_{i}$ 이므로, 일단 $e'_{1}, \cdots, e'_{l} \in W_{p-1}$ 이다. 역으로, $c_{p-1} \in C_{p-1}$ 을 $$ c_{p-1} = \sum_{i=1}^{m} d_{i} e'_{i} $$ 이라 두고 $c_{p-1} \in W_{p-1}$ 이라 가정해보면 $W_{p-1}$ 가 $W_{p-1} = \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\}$ 와 같이 정의되어 있었으므로, $c_{p-1}$ 는 어떤 $\lambda \ne 0$ 에 대해 $$ \lambda c_{p-1} = \partial c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} $$ 의 꼴로 나타날 수 있어야 한다. 계수를 비교해보면 $i > l$ 에 대해서는 $$ \lambda d_{i} = 0 \implies d_{i} = 0 $$ 임을 얻는다. 따라서 $e'_{1} , \cdots , e'_{l}$ 은 $W_{p-1}$ 의 기저다.

Part 4. ‘프리 체인 컴플렉스의 표준 기저 분해’의 증명

$C_{p}$ 와 $C_{p-1}$ 에 대해 지금까지의 논의에서 등장하는 $e_{1} , \cdots , e_{l}$ 으로 생성되는 프리 그룹을 $U_{p}$ 라 하면 $Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p}$ 이므로 $\partial V_{p} = \partial W_{p} = 0$ 이면서 $$ \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus Z_{p} \\ =& U_{p} \oplus \left( V_{p} \oplus W_{p} \right) \end{align*} $$ 을 얻는다. 여기서 $W_{p}$ 와 $Z_{p}$ 는 $C_{p}$ 에 따라 유일하지만 $U_{p}$ 와 $V_{p}$ 는 딱히 유일할 필요가 없었음을 알아두어라.

Part 5. ‘호몰로지 그룹의 효율적 계산가능성’의 증명

Part 4에 따라 컴플렉스 $K$ 에 대해 다음의 분해가 존재함을 보장할 수 있다. $$ \begin{align*} C_{p} \left( K \right) =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} $$

직합의 성질: $G = G_{1} \oplus G_{2}$ 이라고 하자. 만약 $H_{1}$ 이 $G_{1}$ 의 부분군, $H_{2}$ 가 $G_{2}$ 의 부분군이라면, $H_{1}$ 와 $H_{2}$ 역시 직합으로 나타낼 수 있으며 특히 다음이 성립한다. $${{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}$$
[1]: $H_{1} \simeq G_{1}$ 이고 $H_{2} \simeq \left\{ 0 \right\}$ 이라 두면 $$ G / G_{1} \simeq G_{2} $$
[2]: $H_{1} \simeq \left\{ 0 \right\}$ 라 두면 $$ {{ G } \over { H_{2} }} \simeq G_{1} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}$$

Part 1에서 $B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}$ 이었으므로, 직합의 성질에 따라 $$ \begin{align*} H_{p} \left( K \right) =& Z_{p} / B_{p} \\ =& \left( {{ V_{p} \oplus W_{p} } \over { B_{p} }} \right) \\ =& V_{p} \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [2] \\ =& \left( {{ Z_{p} } \over { W_{p} }} \right) \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [1] \end{align*} $$ 을 얻는다. 여기서 $H_{p} \left( K \right) = \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right)$ 의

$Z_{p} / W_{p}$ 는 프리 파트고
$W_{p} / B_{p}$ 는 토션 파트다.

이에 따라 $K$ 의 $p$번째 베티 수 $\beta_{p}$ 는 다음과 같이 구해진다. $$ \begin{align*} \beta_{p} =& \rank H_{p} \left( K \right) \\ =& \rank \left[ \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right) \right] \\ =& \rank \left( Z_{p} / W_{p} \right) + \rank \left( W_{p} / B_{p} \right) \\ =& \left[ \rank Z_{p} - \rank W_{p} \right] + \left[ \rank W_{p} - \rank B_{p} \right] \\ =& \rank Z_{p} - \rank B_{p} \end{align*} $$

한편 $H_{p-1}(K)$ 의 토션 파트과 $b_{1} | \cdots | b_{l} \in \mathbb{N}$ 에 대해서는 다음과 같은 아이소멀피즘이 존재함을 알 수 있다. $$ W_{p-1} / B_{p-1} \simeq \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{1} \mathbb{Z} }} \right) \oplus \cdots \oplus \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{l} \mathbb{Z} }} \right) $$ 여기서 $i \le l$ 에 대해 $b_{i} = 1$ 이라는 것, 다시 말해 $B_{p-1}$ 의 랭크가 $l$ 라는 것은 $$ \mathbb{Z} / b_{i} \mathbb{Z} = \mathbb{Z} / \mathbb{Z} = \left\{ 0 \right\} $$ 이므로 $W_{p-1}$ 의 랭크가 $l$ 만큼 깎인다는 것을 알아두자.

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예시

토러스

$$ \begin{align*} \beta_{0} =& 1 \\ \beta_{1} =& 2 \\ \beta_{2} =& 1 \end{align*} $$

토러스의 베티 수는 위와 같이 알려져 있다. 이 토러스의 체인 컴플렉스가 위 그림과 같이 정의된다고 할 때 예시로써 $\beta_{1} = 2$ 만 구해보자. 위에서 유도한 공식을 사용하지 않고 그냥 수학적으로 고민해서 구하는 방법도 있지만, 읽어보면 알 수 있다시피 머리가 아파올 정도로 어렵다. 이와 대비되는 느낌으로 ‘호몰로지를 효율적으로 계산한다는 것’이 얼마나 편한지 알아보자.

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼: 프리 아벨리안 그룹 $G$ 와 $G'$ 에 대해 $a_{1} , \cdots , a_{n}$ 가 $G$ 의 기저고, $a_{1}' , \cdots , a_{m}'$ 가 $G'$ 의 기저라 하자. 만약 함수 $f : G \to G'$ 가 호모몰피즘이라면 다음을 만족하는 유일한 정수의 집합 $\left\{ \lambda_{ij} \right\} \subset \mathbb{Z}$ 이 존재한다. $$ f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}' $$ 이 때 행렬 $\left( \lambda_{ij} \right) \in \mathbb{Z}^{m \times n}$ 을 ($G$ 와 $G'$ 의 기저에 관한) $f$ 의 행렬이라 부른다.

$\beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1}$ 이므로 적어도 바운더리 행렬 $\left( \partial_{1} \right)$ 과 $\left( \partial_{2} \right)$ 을 구해야한다. 모든 $a , b, c \in C_{1} (T)$ 에 대해 $$ \begin{align*} \partial_{1} (a) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (b) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (c) =& v - v = 0 = 0v \end{align*} $$ 이므로 $$ \left( \partial_{1} \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{1} = 3 , B_{0} = 0 $$ 을 얻는다. $Z_{p}$ 는 행렬의 우측에서 영벡터의 수고, $B_{p-1}$ 는 행렬에서 $1$ 의 수다. 이어서 $\partial_{2}$ 을 생각해보면 $$ \begin{align*} \partial_{2} (U) =& -a -b +c \\ \partial_{2} (L) =& a + b - c \end{align*} $$ 이므로 $$ \left( \partial_{2} \right) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{2} = 1 , B_{1} = 1 $$ 을 얻는다. 이를 종합하면 토러스의 $1$번째 베티 수 $\beta_{1}$ 는 다음과 같이 계산된다. $$ \beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} = 3 - 1 = 2 $$ 당연하지만 이 결과는 이 포스트에 소개된 정리들에 따라 프리 그룹이 어떻고 아이소멀피즘이 어떻고 하면서 온갖 수학적 지식을 동원해서 구한 값과 일치함이 보장된다. 조금 함부로 말하자면 뇌를 빼고 시키는대로만 계산하면 베티 수, 그러니까 ‘호몰로지’를 ‘계산’할 수 있다고 요약할 수 있겠다. 한편 조금 더 좋게 표현한다면, 컴퓨터를 통해 위상수학을 연구하는 길이 보이게 된 것이다.

Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58. ↩︎
Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p104. ↩︎
Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58~61. ↩︎