📂추상대수

베주 정역

정의

정역 $D$ 에서 다음과 같은 등식을 베주 항등식이라 한다. $$ m a + n b = \gcd \left( a, b \right) $$

모든 $a, b \in D$ 에 대해 베주 항등식을 만족시키는 $m,n \in D$ 가 존재하면 $D$ 를 베주 정역^{bézout Domain}이라 한다.

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• $\gcd (a,b)$ 는 $a,b$ 의 최대공약소다.

정리

PID는 베주 정역이다

주 아이디얼 정역은 베주 정역이다. 다시 말해, 주 아이디얼 정역 $R$ 의 모든 $a, b \in R$ 에 대해 베주 항등식을 만족시키는 $m,n \in R$ 이 항상 존재한다. $$ m a + n b = \gcd \left( a, b \right) $$

증명 ¹

$a ,b \in R$ 에 대해 $d := \gcd \left( a,b \right)$ 라 두자. $R$ 이 PID이므로 $a R + b R$ 역시 PID고 $$ a R + b R = c R $$ 을 만족시키는 $c \in R$ 이 존재한다. $d$ 는 $a,b$ 의 최소공약소기 때문에 $a R + b R \subset d R$ 이고, 이에 따라 $$ a R + b R \subset d R \subset c R = a R + b R $$ 이 성립한다. 제일 좌변과 우변이 같으므로 $a R + b R = d R$ 고, 다음을 만족하는 $m , n \in R$ 이 존재해야한다. $$ ma + nb = d $$

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설명

정수론에서 등장하는 확장된 유클리드 정리의 일반화로 볼 수 있다.

참고로 정리의 역, 베주 정역이 PID가 되려면 그에 더불어 유일인수분해정역이어야 한다.²