📂고전역학

고리, 원통 껍질의 관성모멘트

공식

반지름이 $a$, 질량이 $m$인 고리의 관성모멘트는 회전축이 고리의 중심을 지나고,

• 고리가 만드는 평면에 수직한 경우에는 $I=ma^{2}$이다.

• 고리가 만드는 평면과 나란한 경우에는 $I=\dfrac{1}{2}ma^{2}$이다.

유도

반지름이 $a$이고 질량이 $m$인 얇고 균일한 원형 고리(혹은 원통형 껍질)를 생각해보자. 회전축이 고리가 만드는 평면에 수직하는 경우와 고리가 만드는 평면과 나란한 경우가 있다.

회전축이 고리의 중심을 지나고, 고리가 만드는 평면에 수직한 경우

관성모멘트를 구하는 식은 $\displaystyle I=\int r^{2}dm$이고, 회전축에서 질점까지의 거리는 항상 반지름 $a$로 일정하므로 다음과 같다.

$$I_{z}=\int a^{2}dm=a^{2}\int dm=ma^{2}$$

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회전축이 고리의 중심을 지나고, 고리가 만드는 평면과 나란한 경우

수직축 정리에 의해서 $I_{z}=I_{x}+I_{y}$이고, $x$-축을 회전축으로 할 때나 $y$-축을 회전축으로 할 때나 같은 모양이므로 $I_{x}=I_{y}$이다. 따라서 다음과 같다.

$$\begin{align*} && 2I_{x} &= I_{z}=ma^{2} \\ \implies && I_{x} &= \dfrac{1}{2}ma^{2} \end{align*}$$

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