logo

CW 컴플렉스의 정의 📂위상데이터분석

CW 컴플렉스의 정의

개요 1

20220117_175400.png

CW 컴플렉스는 셀 컴플렉스cell Complex라고도 불리는 컴플렉스로, 다음의 재귀적인 프로시저로 구축한다.

정의

  1. 이산적인discrete 집합 $X^{0} \ne \emptyset$ 을 $0$-셀cell로 간주한다.
  2. $n$-스켈레톤skeleton $X^{n}$ 은 $X^{n-1}$ 에서 $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 을 $\phi_{\alpha} : S^{n-1} \to X^{n-1}$ 으로 붙임으로써 만들어낸다.
  3. $X := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} X^{n}$ 이 약한 위상을 가지는 위상공간이 될 때, $X$ 를 셀 컴플렉스라 한다.

설명

정의가 어렵고 복잡해보이는데 생각보다 만만하다. 솔직히 CW 컴플렉스 정도는 그렇게까지 자세히 알지 못해도 되니까 너무 부담은 갖지 않도록 하자.

그래프의 일반화

$1$-스켈레톤은 그 자체로 그래프다. 여기서 $0$-셀 $X^{0} = V$ 는 버텍스의 집합, $1$-셀 $X^{1} = E$ 는 에지의 집합이 된다. $e_{\alpha}^{1} \in E$ 는 인덱스 $\alpha$ 에 따라 $0$-셀들을 잇는 에지고, 당연하지만 모든 $0$-셀을 이을 필요는 없다.

이러한 관점에서 셀 컴플렉스를 그래프의 일반화인 하이퍼 그래프hyper Graph로 보아도 무방하다. 다음은 하이퍼 그래프를 나타낸 그림인데, 동시에 여러개의 버텍스를 연결하는 $e_{k}$ 들이 곧 셀 $e_{\alpha}$ 들과 대응된다2.

262px-Hypergraph-wikipedia.png

CW의 유래 3

거의 대부분의 문헌에서 셀 컴플렉스라는 표현은 사용되지 않으며, 보통은 CW 컴플렉스라고 부른다. 이 이유를 알기 위해 정의를 자세하게 파고들어보자.

디스크와 스피어, 셀의 정의:

  1. 다음과 같이 정의된 $D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$ 를 $n$-유닛 디스크unit Disk라 한다. $$ D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\} $$
  2. 다음과 같이 정의된 $S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 를 $n$-유닛 스피어unit Sphere라 한다. $$ S^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\} $$
  3. $D^{n} \setminus \partial D^{n}$ 과 호메오멀픽한 개집합 $e^{n}$ 을 $n$-셀cell이라고도 한다.

$n$-디스크의 바운더리는 $n$-스피어다. 다시 말해, 다음이 성립한다. $$ \partial D^{n} = S^{n-1} $$

우선 $X^{0}$ 에 대해서는 큰 문제가 없을 것이다. $e_{\alpha}^{n}$ 가 $n-1$ 스켈레톤을 붙인다는 것은 하이퍼 그래프에서 하나의 일반화된 $k$-에지가 여러 버텍스를 잇는 것과 비슷하다. 조금 더 엄밀하게 말해, 우리는 $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 에 대응되는 맵 $\phi_{\alpha} : S^{n-1} \to X^{n-1}$ 가 바운더리의 모든 점 $x \in \partial D_{\alpha}^{n}$ 에 동치관계 $$ x \sim \phi_{\alpha} (x) $$ 을 주어 몫공간을 만드는 것이다. 만약 이 설명이 어렵다면 학부 수준 위상을 다시 공부하면 된다. 위상수학에서 동치관계를 준다는 것―서로 다른 원소들을 사실상 같은 것으로 취급한다는 것은 직관적으로 보았을 때 ‘공간을 이어붙이는 것’이다. $n$-스켈레톤 $X^{n} := x^{n-1} \cup \bigsqcup_{\alpha} D_{\alpha}^{n}$ 은 이 몫사상 $\phi_{\alpha}$ 들 하에서 몫공간이며, $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 은 그 몫사상 $\phi_{\alpha}$ 하에서 $D_{\alpha}^{n} \setminus \partial D_{\alpha}^{n}$ 의 이미지image와 호메오멀픽하다.

한편 $X$ 가 약한 위상을 갖는다는 것은 $A \subset X$ 가 $X$ 에서 열린(닫힌) 집한인 것과 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $A \cap X^{n}$ 가 $X^{n}$ 에서 열린(닫힌) 집합인 것이 동치인 것이다. 아주 일반적인 약한 위상의 개념과 바로 연결 지으려고 무리하지 않아도 되고, 잘 모르겠으면 그런가보다 하고 넘어가도 좋다.

어쨌든 CW 컴플렉스는 그 성질과 정의에서 다음의 두 글자를 따오게 되었다:

  • Closure-finiteness: 각 셀의 클로져는 유한히 많은 다른 셀들과 만난다. 이는 컴팩트와 관련있다.
  • Weak topology: 정의에서 약한 위상이 보장된다.

  1. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p5. ↩︎

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergraph ↩︎

  3. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p520. ↩︎