📂위상수학

약한 위상의 정의

정의 ¹

1. $X$ 가 두 위상 $\mathscr{T}_{1}$, $\mathscr{T}_{2}$ 를 가진 집합이라 하자. 만약 $\mathscr{T}_{1} \subset \mathscr{T}_{2}$ 이면 $\mathscr{T}_{1}$ 가 $\mathscr{T}_{2}$ 보다 약하다^weaker, $\mathscr{T}_{2}$ 가 $\mathscr{T}_{1}$ 보다 강하다^stronger고 한다.
2. 집합 $X$ 에서 위상공간 $X_{\alpha}$ 로의 단사들을 모아놓은 집합 $\mathscr{F} := \left\{ f_{\alpha} : X \hookrightarrow X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 을 생각해보자. $$\mathscr{S} := \left\{ f_{\alpha}^{-1} \left( O_{\alpha} \right) \subset X : \alpha \in \mathscr{A}, O_{\alpha} \text{ open in } X_{\alpha} \right\}$$ 위와 같은 개집합들의 집합 $\mathscr{S}$ 을 부분기저로 두어 결정되는 $X$ 의 위상을 $f_{\alpha}$ 들로 생성되는 $X$ 의 약한 위상^{weak Topology}라 한다.

설명

가장 약한 위상과 가장 강한 위상

그것이 어떤 위상 공간이든 자명 위상은 가장 약하고 이산 위상은 가장 강하다.

위상의 강약

$\mathscr{T}_{1} \subset \mathscr{T}_{2}$ 이라는 것은 $\mathscr{T}_{1}$ 가 위상공간이기 위해 만족시켜야하는 조건이 더 약하다는 의미가 되고, 엉성하다^coarser고 표현하기도 한다. 이와 반대되는 의미로 강하다는 정교하다^finer고 말하기도 한다.

실전적인 약한 위상의 모습

정의에서 $\mathscr{F}$ 는 그저 단사만을 모아놓은 것이라고 했지만, 실질적으로 많이 다루게 되는 것은 임베딩의 패밀리 일 것이다. 다시 말해, $X$ 또한 위상공간이며 $f_{\alpha}$ 들은 단사인 연속함수로 가정할 가능성이 높다.