수직축 정리

임의의 평면에 수직한 회전축에 대한 관성모멘트는 그 수직축을 지나면서 평면판 위에 있는 서로 수직한 임의의 두 축에 대한 관성모멘트의 합과 같다.

$$ \color{red}{I_{z}}=\color{blue}{I_{x}+I_{y}} $$

증명

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}{r_{i}}^{2} $$

피타고라스의 정리에 의해서 ${r_{i}}^{2}={x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}$이므로 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

$$ I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2})=\sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}+\sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2} $$

$x$는 $y$-축으로부터의 거리이고, $y$는 $x$-축으로부터의 거리이므로 다음과 같다.

$$ \sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}=I_{y}, \quad \sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}=I_{x} $$

그러므로

$$ I_{z}=I_{x}+I_{y} $$

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