얇은 막대의 관성모멘트
공식
길이가 $a$, 질량이 $m$인 막대의 관성모멘트는
회전축이 막대의 끝에 있으면 $I=\dfrac{1}{3}ma^{2}$이다.
회전축이 막대의 중앙에 있으면 $I=\dfrac{1}{12}ma^{2}$이다.
유도
회전축이 막대의 끝에 있는 경우
$\rho$를 단위길이당 질량이라고 하면 막대의 질량은 $m=\rho x$이다. 그리고 $dm=\rho dx$이므로 다음과 같다.
$$ I_{z} = \int_{0}^{a} x^{2}\rho dx = \frac{1}{3}a^{3}\rho $$
그런데 막대의 길이가 $a$이므로, $\rho=\dfrac{m}{a}$이고 다음의 결과를 얻는다.
$$ I_{z}=\frac{1}{3}ma^{2} $$
회전축이 막대의 중간에 있는 경우
$$ \begin{align*} I_{z} &= \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}x^{2}\rho dx = \frac{1}{3} \left( \frac{a^{3}}{8}+\frac{a^{3}}{8} \right)\rho \\ &= \frac{1}{12}a^{3}\rho \\ &= \frac{1}{12}ma^{2} \end{align*} $$
비교
두 결과를 비교해보면 회전축이 막대의 중간에 있을 경우의 관성모멘트가 더 작다. 즉, 똑같은 힘으로 막대를 돌릴 때 회전축이 중간에 있는 막대가 더 많이 회전하게 된다.