📂고전역학

관성모멘트

도입¹

고정된 축 주위로 회전운동하는 강체가 있다고 하자. 회전축을 $z$축이라 두면, 강체의 각 점 $(x_{i}, y_{i}, z_{i})$은 $z$축을 중심으로 반지름이 $r_{i} = \sqrt{x_{i}^{2} + y_{i}^{2}}$인 원운동을 한다. 각속력을 $\omega$라 하면, 각 입자 $i$의 속력은 아래와 같다.

$$ v_{i} = r_{i} \omega = \sqrt{x_{i}^{2} + y_{i}^{2}} \omega $$

강체의 운동 에너지는 각 점의 운동에너지를 모두 더한 것과 같다.

$$ T = \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} $$

각속력은 점에 관계없이 일정하므로 다음과 같이 정리한다.

$$ T = \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m_{i} (r_{i} \omega)^{2} = \frac {1}{2} \omega^{2} \sum\limits_{i} m_{i} r_{i}^{2} $$

여기서 각속력을 제외한 질량$\times$거리제곱의 합을 $z$축에 대한 관성모멘트라 정의한다.

정의

고정된 회전축으로부터 $i$번째 입자까지의 거리를 $r_{i}$라 할 때, 입자계의 관성모멘트^{moment of inertia}를 다음과 같이 정의한다.

$$ I = \sum_{i} m_{i} {r_{i}}^{2} $$

질점이 연속적으로 분포하는 경우엔 적분으로 정의한다.

$$ I = \int r^{2} dm $$

설명

관성모멘트^{moment of inertia}는 (입자의 질량)$\times$(회전축에서 입자까지의 거리)로 정의되며 물체가 계속 회전운동하려는 성질을 나타내는 물리량이다. 기호는 $I$이며 영칭인 Inertia의 앞글자를 딴것으로 보인다. 단위는 $[kg \cdot m^{2}]$이다. 병진운동에서의 질량과 같은 역할을 한다고 볼 수 있다. 즉, 각운동량 $L=I \omega $이 일정할 때 관성모멘트가 클 수록 각속도가 작아진다.

물체의 질량을 $m$이라 하자. 여러가지 모양의 물체에 대한 관성모멘트는 아래의 표와 같다.

물체	변수	회전축	관성모멘트
얇은 막대	길이 $a$	막대 중앙	$\frac{1}{12}ma^{2}$
얇은 막대	길이 $a$	막대 끝	$\frac{1}{3}ma^{2}$
고리	반지름 $a$	고리의 중심을 지나고 고리와 수직한 축	$ma^{2}$
고리	반지름 $a$	고리의 중심을 지나고 고리와 평행한 축	$\frac{1}{2}ma^{2}$
원판	반지름 $a$	원판의 중심을 지나고 원판과 수직한 축	$\frac{1}{2}ma^{2}$
원판	반지름 $a$	원판의 중심을 지나고 원판과 평행한 축	$\frac{1}{4}ma^{2}$
구 껍질	반지름 $a$	구의 중심을 지나는 축	$\frac{2}{3}ma^{2}$
구	반지름 $a$	구의 중심을 지나는 축	$\frac{2}{5}ma^{2}$