📂수리통계학

확률적 증감함수와 신뢰구간

정리 ¹

확률적 증감함수의 정의

누적분포함수 $F \left( t ; \theta \right)$ 가 $\theta$ 에 대해 증가(감소) 함수면 확률적 증가(감소) 함수^{stochastic Increasing(Decreasing)}라 한다.

연속누적분포함수의 피버팅^{pivoting a continusous cdf}

통계량 $T$ 가 연속누적분포함수 $F_{T} \left( t ; \theta \right)$ 를 가진다고 하자. 픽스된 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 $\alpha_{1} + \alpha_{2} = \alpha$ 라 하고, $T$ 의 서포트 $\mathcal{T}$ 의 모든 $t \in \mathcal{T}$ 에 대해 $\theta_{L} (t)$ 와 $\theta_{U} (t)$ 가

• (1): 만약 $F_{T} \left( t ; \theta \right)$ 가 확률적 감소함수면, $$F_{T} \left( t ; \theta_{U}(t) \right) = \alpha_{1} \quad \& \quad F_{T} \left( t ; \theta_{L}(t) \right) = 1 - \alpha_{2}$$
• (2): 만약 $F_{T} \left( t ; \theta \right)$ 가 확률적 증가함수면, $$F_{T} \left( t ; \theta_{U}(t) \right) = 1 - \alpha_{2} \quad \& \quad F_{T} \left( t ; \theta_{L}(t) \right) = \alpha_{1}$$

와 같이 정의된다고 하자. 그러면 랜덤 인터벌 $\left[ \theta_{L} (t) , \theta_{U} (t) \right]$ 는 $\theta$ 에 대한 $1 - \alpha$ 신뢰구간이다.

설명

예를 들어서 $T \sim \exp (\theta)$, 즉 지수분포를 따른다고 하면 그 누적분포함수 $F (t; \theta) = 1 - e^{t / \theta}$ 는 모든 $t$ 에 대해 $\theta$ 가 증가함수록 함수값이 작아지므로 확률적 감소함수이고, 정리의 조건 (1)을 만족시켜 손쉽게 $1-\alpha$ 신뢰구간을 얻을 수 있다.

정리의 이름에서 나온 피버팅은 피벗에서 나온 말이다.

증명

(1)의 경우만 증명한다. 이산누적분포의 경우 완전히 같지는 않지만 비슷한 정리가 있다².

---

$$\left\{ t : \alpha_{1} \le F_{T} \left( t ; \theta_{0} \right) \le 1 - \alpha_{2} \right\}$$ $1-\alpha$ 채택영역을 위와 같이 만들어놓았다고 하자. $F_{T}$ 가 확률적 감소함수고 $\alpha < 1$ 의 정의에서 $1 - \alpha_{2} > \alpha_{1}$ 이므로 $\theta_{L}(t) < \theta_{U}(t)$ 이 성립하며, 그 함수값들은 유일하다. 또한, $$\begin{align*} F_{T} \left( t ; \theta \right) < \alpha_{1} \iff& \theta > \theta_{U}(t) \\ F_{T} \left( t ; \theta \right) > 1 - \alpha_{2} \iff& \theta < \theta_{L}(t) \end{align*}$$ 이므로 다음을 얻는다. $$\left\{ t : \alpha_{1} \le F_{T} \left( t ; \theta_{0} \right) \le 1 - \alpha_{2} \right\} = \left\{ \theta : \theta_{L}(t) \le \theta \le \theta_{U}(t) \right\}$$

■