📂수리통계학

최정확 신뢰집합

정의 ¹

$\theta$ 에 대한 가설검정의 $1 - \alpha$ 신뢰집합을 $C \left( \mathbf{x} \right)$ 이라 하고, 채택역을 $A \left( \theta \right) = C \left( \mathbf{x} \right)^{c}$ 이라 하자.

1. $P_{\theta} \left( \theta’ \in C \left( \mathbf{X} \right) \right)$ 를 $\theta’ \ne \theta$ 에 대한 펄스 커버리지^{false Coverage} 확률이라 한다. 원래의 커버리지 확률 $P_{\theta} \left( \theta \in C \left( \mathbf{X} \right) \right)$ 을 이와 대비되는 표현인 트루 커버리지^{true Coverage} 확률이라 부른다.
2. $1-\alpha$ 신뢰집합 $C \left( \mathbf{x} \right)$ 이 모든 $\theta’ \ne \theta$ 에 대해 펄스 커버리지 확률이 $1-\alpha$ 보다 작거나 같으면 불편^unbiased이라 한다. 다시 말해, 다음을 성립시킨다. $$ P_{\theta} \left( \theta’ \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \le 1 - \alpha $$
3. $1-\alpha$ 신뢰집합 중 펄스 커버리지 확률을 최소화하는 $1-\alpha$ 신뢰집합을 최정확 신뢰집합^{uniformly Most Accurate(UMA) Confidence set}이라 하고, 신뢰구간일 때는 네이만-최단^{neyman-shortest}라 하기도 한다.

설명

신뢰구간

특히 $C \left( \mathbf{X} \right)$ 가 신뢰구간일 때, 펄스 커버리지 확률은 다음과 같이 세가지로 구분해서 따로 정의한다. $$ \begin{align*} C \left( \mathbf{X} \right) = \left[ L , U \right] \implies & P_{\theta} \left( \theta’ \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta’ \ne \theta \\ C \left( \mathbf{X} \right) = \left[ L , \infty \right) \implies & P_{\theta} \left( \theta’ \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta’ < \theta \\ C \left( \mathbf{X} \right) = \left( -\infty , U \right] \implies & P_{\theta} \left( \theta’ \in C \left( \mathbf{X} \right) \right) \qquad , \theta’ > \theta \end{align*} $$

UMP 가설검정과의 관계

가설검정과 신뢰집합의 일대일 대응관계에 따르면 최강력검정에도 그에 대응되는 신뢰집합이 있어야할텐데, 그것이 바로 최정확 신뢰집합이라 간주해도 무방하다.

정의에서 펄스 커버리지 확률을 최소화한다는 것은 가설검정이 최적^optimal인가 하는 질문과도 맞닿아있다. 이와 대응되는 신뢰구간이 최적이라는 것은 그 길이가 가장 짧다는 것이고, 우리는 같은 신뢰수준 하에서라면 신뢰구간이 가장 짧기를 바라므로 이를 네이만-최단이라 부르는 것도 납득이 될 것이다.

생각해보면 네이만-피어슨 보조정리나 칼린-루빈 정리와 같은 정리들이 보장해주는 최강성은 너무나 한정적이었다. 기본적으로 대부분의 최강력검정들은 단측^one-sided 검정이었는데, UMA는 양측^two-sided 검정에서 그 의미가 특히 중요해진다.