SIRD 모델: 죽음과 치명률
개요
SIRD 모델은 SIR 모델에 죽음을 추가한 역학 구획 모델이다.
모델
$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \left( 1 - \delta \right) \mu I \\ {{d D} \over {d t}} =& \delta \mu I \end{align*} $$
변수
- $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
- $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는infectious 집단의 개체수를 나타낸다.
- $R(t)$: $t$ 시점에서 회복된recovered 집단의 개체수를 나타낸다.
- $D(t)$: $t$ 시점에서 사망한death 집단의 개체수를 나타낸다.
- $N(t) = S(t) + I(t) + R(t) + D(t)$: 전체 개체수를 나타낸다.
파라미터
- $\beta>0$: 전염률infection rate이다.
- $\mu>0$: 회복률recovery rate이다.
- $\delta>0$: 치명률fatality rate이다.
설명
단순히 상미분방정식으로 보았을 때 모델에서 $R$ 과 $D$ 는 추상적으로 전혀 차이점이 없다. 시뮬레이션을 한다고 쳐도 $D$ 의 수는 단순히 $R$ 에 $\delta$ 로 비례할 뿐 그 자체에 관심을 가지기 어렵다. 이러한 컴파트먼트 $D$ 가 의미를 가지는 것은 단순 시뮬레이션이 아닌 피팅fitting에 있다. 실제 데이터로써 감염자와 사망자의 타임 시리즈time Series를 가지고 있다면, $\delta$ 를 미지수로 두고 그 추정치인 $\hat{\delta}$ 을 파악할 수 있는 것이다. 방역 정책을 고려함에 있어서 ‘죽음’에 관한 지표는 중요할 수밖에 없다.
때로는, 아니 사실 역사적으로 인류는 대부분 전염병을 이겨내지 못했다. 그러나 전염병에 맞서는 것은 누가 더 훌륭한 지도자인지 겨루는 경쟁 게임이 아니라 그 시대를 살아가는 이들의 진짜 삶이다. 현실에서는 단순히 전염병을 완전히 종식시키는지의 여부로 승리와 패배를 가르지 않는다. 백신이 개발될 때까지 시간을 끌거나 경제적 비용을 최소화하거나 사망자를 줄이는 것 등이 각 방역 전략의 목표가 될 수 있는 것이다. 이 중에서도 죽음은 특히 중하고, $D$ 를 추가함으로써 죽음에 대한 계량화와 전략 평가가 가능해진다.
표현을 좀 너무 거창하게 했는데, 쉽게 말하면 ‘조금 더 오래가더라도 사망자를 줄이는 전략’ 같은 선택지가 생긴다는 말이다.
사망률, 치명률, 치사율
사망률mortality rate과 치명률fatality rate, 치사율lethality 이 세가지 단어는 흔히 죽음에 대한 통계가 언급될 때 비슷하게 쓰이는 표현들이다. 다만 사망률은 꼭 병이 아니라도 널리 쓰이기도 하고, 딱히 그 병으로 죽었다는 의미가 아니기에 전염병의 맥락에서는 그다지 선호되는 단어가 아니다. 일반인들에게 있어서는 가장 직관적인 표현인 동시에 모호함도 가지고 있고, 비교적 전문적인 문헌에서는 치명률이나 치사율(그 중에서도 치명률)이라는 표현을 사용한다.
변형
SIRHDV 모델: 의료 서비스
$H$ 는 병원(병상), $V$ 는 SIRV 모델에서 그러하듯 백신을 의미한다. 둘의 차이는
- 병원의 경우엔 $I \to H$, 즉 감염자를 입원시킴으로써hospitalized
- 백신의 경우엔 $S \to V$, 즉 백신접종을 통해vaccinated
전염력 $\beta SI$ force of infection을 낮출 뿐만 아니라, 증상의 정도까지 경증과 중증 $I = I_{1} + I_{2}$ 로 나누어 고려한다. 이러한 의료 서비스는 전체적인 중증도는 물론 치명률까지 저감하는 효과가 있을 것이라 가정하고, 그 수리적 모델은 그것들이 반영 되었을 때의 예상효과를 구체적인 수치로 보여줄 수 있다.