📂동역학

SEIR 모델: 잠복기와 잠재기

개요

SEIR 모델은 SIR 모델에 접촉군을 추가한 역학 구획 모델이다.

모델 ^{1 2}

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d E} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - {{ 1 } \over { \tau }} E \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ 1 } \over { \tau }} E - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

변수

• $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는^susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
• $E(t)$: $t$ 시점에서 접촉군^exposed의 개체수를 나타낸다.
• $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는^infectious 집단의 개체수를 나타낸다.
• $R(t)$: $t$ 시점에서 회복된^recovered 집단의 개체수를 나타낸다.
• $N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)$: 전체 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $\beta>0$: 전염률^{infection rate}이다.
• $1/\tau>0$: 평균 지연시간^latency이다.
• $\mu>0$: 회복률^{recovery rate}이다.

설명

보통 노출되자마자 증상을 보이고 곧바로 전파되는 질병은 없기 때문에 SIR 모델보다는 현실적인 모델로 본다. 질병확산모델의 맥락에서 접촉군 $E$ 란 질병 감염자와 접촉해서 병원체을 옮겨받아 곧 질병에 걸리겠지만, 아직 체내에서 충분히 증식하지 않아 전염력이 없는 상태로 보아도 무방하다.

잠복기와 잠재기

$\tau$ 는 흔히 잠복기^{incubation Period}와 잠재기^{latent Period}로 혼용되어 불리는데, 감염내과적으로는 접촉 후 임상적인 증상이 일어날 때까지의 기간을 잠복기, 전염력을 가질때까지의 기간을 잠재기라 구분하는 모양이다.³

수리적 모델링에 있어서는 완전히 $I$ 로 들어서기 전에 전염력이 없는 기간을 잠재기라 하고, $E$ 라도 전염력이 있다면 잠복기라 부를 수 있다. $E$ 에서 전염력은 $I$ 보다는 낮지만 시간이 흐름에 따라 전염력이 강해지는 등 바이럴 로드^{viral Load}를 고려할 때 이러한 구분이 의미를 가진다.

발생량과 유병률

모델에서 접촉 시기와 증상 발현에 차이가 생겼으므로 발생^incidence과 유병^prevalence 역시 구분되어야한다. 보통 특정 기간 $\Delta t$ 동안 $E$ 에서 $I$ 로 넘어간 수를 The number of Incidence Cases라 쓰고, 특정 시점 $t$ 에서 병을 가진 개체의 비율 $I(t)/N(t)$ 를 유병률이라 한다.

현실 속에서 Incidence는 병이 걸렸는지 진단을 해서 알아내기 때문에 확진^confirmed이라는 표현과도 함께 쓰인다.

스토캐스틱 모델^{stochastic model}

상미분방정식이 아닌 시뮬레이션 모델 등에서는 $\tau$ 를 확률변수로 둘 수 있다. 그 분포는 연구 주제가 되는 질병에 따라 다르지만 보통의 경우엔 베이불 분포 혹은 감마 분포 등을 고려한다.