대각행렬곱을 통한 행렬의 행별, 열별 스칼라곱
정리
대각행렬 $D := \text{diag} \left( d_{1} , \cdots , d_{n} \right)$ 와 행렬 $A := \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} D A =& \begin{bmatrix} d_{1} a_{11} & d_{1} a_{12} & \cdots & d_{1} a_{1n} \\ d_{2} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{2} a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n} a_{n1} & d_{n} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn} \end{bmatrix} \\ A D =& \begin{bmatrix} d_{1} a_{11} & d_{2} a_{12} & \cdots & d_{n} a_{1n} \\ d_{1} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{n} a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{1} a_{n1} & d_{2} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 다시 말해 대각행렬 $D$ 를 왼쪽에서 곱하면 행별 스칼라곱을, 오른쪽에서 곱하면 열별 스칼라곱을 할 수 있다.
증명
이런 종류의 증명은 일반적으로 하는 게 오히려 독이다. $3$차 행렬에 대해서만 눈으로 확인해보자.
$$ \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa & xb & xc \\ yd & ye & yf \\ zg & zh & zi \end{bmatrix} $$
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