📂기하학

심플렉스의 정의

정의 ¹

1. 아핀독립인 $v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ 의 컨벡스 헐을 $n$-심플렉스^$n$-simplex $\Delta^{n}$ 라 하고, 벡터 $v_{k}$ 들을 꼭짓점^vertex이라 부른다. 수식적으로는 다음과 같다. $$\Delta^{n} := \left\{ \sum_{k} t_{k} v_{k} : v_{k} \in \mathbb{R}^{n+1} , t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}$$
2. $\Delta^{n}$ 에서 하나의 꼭짓점이 제거되어서 만들어지는 $n-1$-심플렉스 $\Delta^{n-1}$ 들을 $\Delta^{n}$ 의 페이스^face라 한다. $\Delta^{n}$ 의 모든 페이스들의 합집합을 $\Delta^{n}$ 의 바운더리^boundary라 하고 $\partial \Delta^{n}$ 로 나타낸다.
3. 심플렉스의 내부 $\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} := \Delta^{n} \setminus \partial \Delta^{n}$ 를 오픈 심플렉스^{open Simplex}라 부른다.

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• 아핀독립이란 $v_{1} - v_{0} , v_{2} - v_{0} , \cdots , v_{n} - v_{0}$ 이 선형독립인 것을 말한다.

설명

심플렉스는 선형계획법이나 대수위상 등에서 접할 수 있는 개념으로, 그 이름이 말해주듯 간단함이 특징이다. 한국어로는 단체라 순화된다.

$n$-심플렉스

정의에서 그냥 컨벡스 헐과 $n$-심플렉스가 다른 점은 주어진 벡터들이 아핀독립이라는 것밖에 없다. 집합 $X$ 의 컨벡스 헐과 달리 정확히 $v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n}$ 만으로 표현이 되고, 그렇게만 표현이 되는 도형이라는 것이다.

$$\left\{ \left( t_{0} , t_{1} , \cdots , t_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n+1} : t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}$$

한편 위의 집합을 표준 $n$-심플렉스^{standard $n$-simplex}라 한다. 벡터 $v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n}$ 들의 길이 등이 싸그리 무시되고 그 조합만 나타내므로 표준화라 불릴만하다.

예로써 $\Delta^{n} , n = 3,2,1,0$ 을 살펴보자.

보다시피 $3$-심플렉스는 사면체, $2$-심플렉스는 삼각형, $1$-심플렉스는 선분, $0$-심플렉스는 그냥 단 하나의 점으로 표현된다. $2$-심플렉스에서 세 점이 한 직선 위에 놓이거나 하는 경우는 아핀독립의 가정에서 배제된다. $n \ge 4$ 인 경우에는 기하적으로 나타낼 수는 없으나 일반화에 전혀 문제가 없다.

바운더리와 오픈 심플렉스

본질적으로 바운더리와 오픈 심플렉스는 거리공간에서 말하던 경계와 내부와 다를 게 없고, 표기조차 일치한다.

위 예시에서 $3$-심플렉스인 사면체의 페이스는 $2$-심플렉스인 삼각형으로 나타나고, $2$-심플렉스인 삼각형의 페이스는 $1$-심플렉스인 선분으로 나타난다는 점에서 페이스^표면이라는 표현이 딱 맞다는 것을 확인할 수 있다. 심지어 $1$-심플렉스인 선분의 페이스도 양 끝의 $0$-심플렉스인 점이다. 이러한 페이스를 모아놓은 것을 바운더리^경계라 부르는 것도 굉장히 상식적이다.

$\Delta^{3}$ 의 바운더리 $\partial \Delta^{3}$ 와 오픈 심플렉스 $\left( \Delta^{3} \right)^{\circ}$ 는 그림과 같이 직관적으로 받아들여도 무방하다.