📂동역학

레즐리 연령 구조 모델

정의 ¹

집단에서 연령의 단계가 $m \in \mathbb{N}$ 가지 있고, $t$ 시점에서 $a \in \left\{ 1 , \cdots , m \right\}$ 단계의 인구수를 $x_{a}(t)$ 라 나타내자. 같은 기간동안 연령인 $a$ 단계인 집단의 평균적인 자손의 수를 $b_{a}$ 라 하고, 연령이 $a$ 단계인 집단 중 생존해서 $a+1$ 단계로 들어서는 비율을 $s_{a}$ 이라 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다. $$\begin{align*} x_{1} \left( t+1 \right) =& \sum_{a=1}^{m} b_{a} x_{a} (t) \\ x_{a+1} \left( t+1 \right) =& s_{a} x_{a} (t) \end{align*}$$

이렇게 맵으로 표현되는 동역학계를 레즐리 연령 구조 모델^{Leslie age structured model}이라 하고, 다음과 같이 행렬 꼴로 나타낼 수 있다. $$X (t+1) := \begin{bmatrix} x_{1} (t+1) \\ x_{2} (t+1) \\ x_{3} (t+1) \\ \vdots \\ x_{m} (t+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{m-1} & b_{m} \\ s_{1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & s_{2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & s_{m-1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ x_{3} (t) \\ \vdots \\ x_{m} (t) \end{bmatrix} =: L X (t)$$

이 때 $m \times m$ 행렬 $L$ 을 레즐리 행렬이라 부른다.

설명

소개한 정의는 가장 단순한 가정만을 담았다. 거의 대부분의 생물은 생식활동을 하는 전성기가 따로 있기에 그에 따른 모델링도 천차만별이며, 보통은 암컷^female의 수만 고려하지만 종에 따라서는 두 성별을 모두 고려하거나 다른 종과의 공생, 먹이 사정까지 생각해서 복잡한 모델을 구성할 수 있다. 연령이라곤 하지만 사실 반드시 정확히 ‘나이’로 생각할 필요는 없다. 완전변태를 하는 곤충을 예로 든다면 알, 유충, 번데기, 성충으로 나뉠 수 있다.

만약 $L$ 이 시간 $t$ 에 대해 독립이라면, 초기조건 $X(0)$ 에 대해 다음과 같이 $L$ 을 $t$ 번 곱하는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. $$X (t) = L^{t} X(0)$$

레즐리 모델은 연령을 고려한 집단의 생사와 성장을 다룬, 바이탈 다이내믹스^{vital Dynamcis} 자체에만 관심을 크게 두고 있는데 꼭 그게 아니라도 집단의 연령 구조를 생각하는 것은 꽤나 널리 쓰이는 사고방식이다. 가령 SIR 모델 등에서 연령별 접촉빈도에 따라 질병 전파에 차등을 주는 식이 그러하다.

연속적 연령 구조 모델

폰 푀르스터 방정식을 응용한 모델이 알려져있다.