📂위상데이터분석

추상대수학에서의 프리 그룹

정의 ¹

1. 인덱스 집합 $I \ne \emptyset$ 에 대해 집합 $A := \left\{ a_{i} : i \in I \right\}$ 를 알파벳^alphabet이라 하고, 그 원소 $a_{i} \in A$ 를 레터^letter라 하자.
2. 정수 $n \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $a_{i}^{n}$ 와 같은 꼴을 음절^syllable이라 한다. 이들의 유한한 병치^juxtapostion인 문자열 $w$ 을 단어^word라 한다.
3. 음절 $a_{i}^{n} a_{i}^{m}$ 은 $a_{i}^{n+m}$ 와 같이 나타낼 수 있으며, 이를 초등 축약^{elementary contraction}이라 한다. 더 이상 초등 축약할 수 없는 단어를 축약어^{reduced word}라 하며, 특히 $1 := a_{i}^{0}$ 을 공단어^{empty word}라 한다.
4. 알파벳 $A$ 의 레터로 만들 수 있는 모든 축약어의 집합을 $F [A]$ 라 하자. 두 단어 $w_{1} , w_{2} \in F[A]$ 에 대해 $w_{1} \cdot w_{2}$ 가 축약어꼴로 나타나는 이항연산 $\cdot : F[A]^{2} \to F[A]$ 을 정의한다. 그룹 $\left( F[A], \cdot \right)$ 을 $A$ 에 의해 생성된 프리 그룹^{free group generated by $A$}이라 한다.
5. $G$ 가 집합 $A := \left\{ a_{i} : i \in I \right\}$ 의 원소들을 생성원으로 갖는 그룹이며, $\phi \left( a_{i} \right) = a_{i}$ 인 아이소멀피즘 $\phi : G \to F [A]$ 이 존재하면 $G$ 가 $A$ 상에서 프리^{free on $A$}하다고 하며, $a_{i}$ 들을 $G$ 의 프리 제너레이터^{free Generator}라 한다.
6. $A \ne \emptyset$ 상에서 프리한 그룹을 프리 그룹^{free group}이라 정의하고, $A$ 의 기수 $|A|$ 를 프리 그룹의 랭크^rank라 한다.

설명

정의에 글이 많아서 읽기가 싫어지는데 사실 예를 들어 생각해 보면 전혀 어렵지 않다. ‘알파뱃’이나 ‘단어’ 같은 용어가 나오는 점에 당황하지는 말자. 생각해보면 대수학^代數學이라는 말 자체가 ‘수를 대신해서 글자를 쓰는 것에 대한 공부’다. 여기까지 와서 생각해보면 집합에 연산을 주고 생각한다는 어프로치가 너무 추상적이었던 것일 수도 있다. 사실 프리그룹에 대해 정의가 끝나고 나면 4번 위로 나오는 단어들은 거의 쓰지도 않는다. 마음 편하게 먹고 예시를 살펴보자.

알파벳과 레터

$$ A = \left\{ a, b \right\} $$

위와 같은 알파벳을 생각해보면 레터는 오직 $a$, $b$ 둘 뿐이다.

음절과 단어

알파뱃 $A$ 에 대해 $$ a^{2} , b^{3}, b^{-1} $$ 는 모두 음절이다. 이들을 다음과 같이 유한하게, 중복을 허용해서 나열한다는 의미에서 병치^juxtapostion라는 표현이 쓰였으며, 정의로는 그냥 단어라 했다. $$ a^{2} b \\ bbab \\ b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24} $$

축약어와 공단어

예로써 가장 마지막 단어 $b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24}$ 가 축약되는 과정을 살펴보자. $$ \begin{align*} & b^{-2} a a a^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-2} a^{2} a^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-2} a^{0} b a^{-24} \\ =& b^{-2} 1 b a^{-24} \\ =& b^{-2} b a^{-24} \\ =& b^{-1} a^{-24} \end{align*} $$ 여기서 $a^{0} = 1$ 은 마치 항등원처럼 기능하고 있으며, 실제로도 음절이 없다는 의미에서 Empty Word라 부른다. 그룹이 되고난 후면 몰라도 알파뱃에서 굳이 $1$ 을 적지는 않는다.

$A$ 에 의해 생성된 프리 그룹

이제까지의 빌드업에서 $\left( F[A], \cdot \right)$ 는 자연스럽게 그룹이 된다. 항등원은 공단어 $1$ 이며, 모든 단어 $w$ 에 대해 다음을 만족하는 역원 $w^{-1}$ 이 존재한다. $$ w \cdot w^{-1} = w^{-1}\cdot w = 1 $$ 애초에 $F[A]$ 는 구체적인 항등원과 역원을 주었기 때문에 당연히 그룹이다. 이처럼 프리 그룹이란 다름 아닌 ‘그룹이 될 수밖에 없게 만든 그룹’이다.

$A$ 상에서 프리한 그룹

$$ F[A] = \left\{ \cdots , a^{-2} b^{-1} , a^{-1} b^{-1}, a^{-1}, b^{-1} , 1 , a , b , ab , a b a \cdots \right\} $$ $F[A]$ 의 원소들을 구체적으로 나열해보면 위와 같다. 이제까지의 정의는 물론 직관적이고 이해하기는 쉽지만, 우리는 이 자체가 필요한 게 아니라 일반적인 $G$ 에 관심이 있다. 가령 정수군 $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ 을 생각해보면 $\left\{ 1 \right\}$ 의 원소들을 생성원으로 갖는 순환군이며, $F \left[ \left\{ a \right\} \right]$ 과 아이소멀픽 하므로 $\left\{ a \right\}$ 상에서 프리하다고 말할 수 있다.

프리 그룹과 랭크

여기까지의 예시에서 $\mathbb{Z}$ 는 홑원소 집합 $\left\{ a \right\}$ 상에서 프리하므로 랭크 $1$ 이고, $A = \left\{ a,b \right\}$ 에 의해 생성된 프리 그룹 $F[A]$ 는 랭크 $2$ 다.