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미분소 행렬을 통한 푸아송 프로세스의 정의 📂확률론

미분소 행렬을 통한 푸아송 프로세스의 정의

정의

λ>0\lambda > 0 가 주어져 있다고 하자. X(0)=0X(0) = 0 이면서 다음과 같은 미소 확률infinitesimal Probabilities을 가지는 연속 확률과정 {X(t):t∈[0,∞)}\left\{ X(t) : t \in [0,\infty) \right\} 를 푸아송 프로세스poisson process라 한다. pij(Δt):=P(X(t+Δt=j∣X(t)=i))={λΔ+o(Δt),if j=i+11−λΔ+o(Δt),if j=io(Δt),if j>i+10,if j<i \begin{align*} p_{ij} \left( \Delta t \right) := & P \left( X \left( t + \Delta t = j | X(t) = i \right) \right) \\ =& \begin{cases} \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i+1 \\ 1 - \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i \\ o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j > i + 1 \\ 0 & , \text{if } j < i \end{cases} \end{align*} 이 확률은 오직 시간 Δt\Delta t 에만 종속되어 있다.

  • o(Δt)o \left( \Delta t \right) 는 다음과 같이 충분히 작은 Δt\Delta t 에 대해 00 에 근사하는 함수를 나타낸다. lim⁡Δt→0o(Δt)Δt=0 \lim_{\Delta t \to 0} {{ o \left( \Delta t \right) } \over { \Delta t }} = 0

설명

지수분포를 통한 푸아송 프로세스의 정의와 비교해보면 도달시간이 따르는 지수분포가 잘 드러나지 않는 대신 연속 마코프체인임이 바로 보인다.

전이확률행렬 P(Δt)P \left( \Delta t \right) 과 미분소 행렬 Q=P’(0)Q = P’(0) 를 생각해보면 P(Δt)=[1−λΔt00⋯λΔt1−λΔt0⋯0λΔt1−λΔt⋯00tλΔ⋯⋮⋮⋯⋱]+o(Δt) P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} 1 - \lambda \Delta t & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & \cdots \\ 0 & 0 t & \lambda \Delta & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} + o \left( \Delta t \right) 이고 Q=lim⁡Δt→0P(Δt)=[−λ00⋯λ−λ0⋯0λ−λ⋯00λ⋯⋮⋮⋯⋱] Q = \lim_{\Delta t \to 0} P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} - \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda & - \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda & - \lambda & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} 이다. 콜모고로프 미분방정식 dP(t)dt=QP(t) {{ d P(t) } \over { dt }} = Q P(t) 에 따르면 tt 시점에서 상태가 kk 일 확률 pk(t)p_{k} (t) 는 dpk(t)dt=−λpk(t)+λpk−1(t) {{ d p_{k}(t) } \over { dt }} = -\lambda p_{k}(t) + \lambda p_{k-1}(t) 이와 같이 나타낼 수 있고, 그 해는 다음과 같다. p0(t)=e−λtp1(t)=λte−λtp2(t)=(λt)2e−λt2!⋮pk(t)=(λt)ke−λtk!⋮ \begin{align*} p_{0} (t) =& e^{-\lambda t} \\ p_{1} (t) =& \lambda t e^{-\lambda t} \\ p_{2} (t) =& \left( \lambda t \right)^{2} {{ e^{-\lambda t} } \over { 2! }} \\ \vdots & \\ p_{k} (t) =& \left( \lambda t \right)^{k} {{ e^{-\lambda t} } \over { k! }} \\ \vdots & \end{align*} 이러한 나열에서 푸아송분포 Poi(λt)\text{Poi} \left( \lambda t \right) 를, 마코프체인이라는 점과 p1(t)=λte−λtp_{1} (t) = \lambda t e^{-\lambda t} 에서 사건이 한 번 일어나는데 걸리는 시간(혹은 도달시간) τ\tau 는 지수분포 exp⁡(λt)\exp \left( \lambda t \right) 를 따름을 자연스럽게 확인할 수 있다.

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