미분소 행렬을 통한 푸아송 프로세스의 정의
정의
$\lambda > 0$ 가 주어져 있다고 하자. $X(0) = 0$ 이면서 다음과 같은 미소 확률infinitesimal Probabilities을 가지는 연속 확률과정 $\left\{ X(t) : t \in [0,\infty) \right\}$ 를 푸아송 프로세스poisson process라 한다. $$ \begin{align*} p_{ij} \left( \Delta t \right) := & P \left( X \left( t + \Delta t = j | X(t) = i \right) \right) \\ =& \begin{cases} \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i+1 \\ 1 - \lambda \Delta + o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j = i \\ o \left( \Delta t \right) & , \text{if } j > i + 1 \\ 0 & , \text{if } j < i \end{cases} \end{align*} $$ 이 확률은 오직 시간 $\Delta t$ 에만 종속되어 있다.
- $o \left( \Delta t \right)$ 는 다음과 같이 충분히 작은 $\Delta t$ 에 대해 $0$ 에 근사하는 함수를 나타낸다. $$ \lim_{\Delta t \to 0} {{ o \left( \Delta t \right) } \over { \Delta t }} = 0 $$
설명
지수분포를 통한 푸아송 프로세스의 정의와 비교해보면 도달시간이 따르는 지수분포가 잘 드러나지 않는 대신 연속 마코프체인임이 바로 보인다.
전이확률행렬 $P \left( \Delta t \right)$ 과 미분소 행렬 $Q = P’(0)$ 를 생각해보면 $$ P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} 1 - \lambda \Delta t & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda \Delta t & 1 - \lambda \Delta t & \cdots \\ 0 & 0 t & \lambda \Delta & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} + o \left( \Delta t \right) $$ 이고 $$ Q = \lim_{\Delta t \to 0} P \left( \Delta t \right) = \begin{bmatrix} - \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda & - \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda & - \lambda & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots \\ \vdots & \vdots & \cdots & \ddots \end{bmatrix} $$ 이다. 콜모고로프 미분방정식 $$ {{ d P(t) } \over { dt }} = Q P(t) $$ 에 따르면 $t$ 시점에서 상태가 $k$ 일 확률 $p_{k} (t)$ 는 $$ {{ d p_{k}(t) } \over { dt }} = -\lambda p_{k}(t) + \lambda p_{k-1}(t) $$ 이와 같이 나타낼 수 있고, 그 해는 다음과 같다. $$ \begin{align*} p_{0} (t) =& e^{-\lambda t} \\ p_{1} (t) =& \lambda t e^{-\lambda t} \\ p_{2} (t) =& \left( \lambda t \right)^{2} {{ e^{-\lambda t} } \over { 2! }} \\ \vdots & \\ p_{k} (t) =& \left( \lambda t \right)^{k} {{ e^{-\lambda t} } \over { k! }} \\ \vdots & \end{align*} $$ 이러한 나열에서 푸아송분포 $\text{Poi} \left( \lambda t \right)$ 를, 마코프체인이라는 점과 $p_{1} (t) = \lambda t e^{-\lambda t}$ 에서 사건이 한 번 일어나는데 걸리는 시간(혹은 도달시간) $\tau$ 는 지수분포 $\exp \left( \lambda t \right)$ 를 따름을 자연스럽게 확인할 수 있다.