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추상대수학에서의 R-모듈 📂추상대수

추상대수학에서의 R-모듈

정의 1

아벨리안 그룹 (G,+)(G,+) 와 곱셈에 대한 항등원 1≠01 \ne 0 를 가지는 링 (R,+,⋅)(R,+,\cdot)에 대해 이항연산 μ:R×G→G \mu : R \times G \to G 가 다음의 세가지 조건을 만족하면 (G,+,R,⋅;μ)\left( G, +, R, \cdot ; \mu \right) 를 RR-모듈RR-module이라 한다:

  • (M1) 쌍가산성bi-additivity: ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in R 과 ∀x,y∈G\forall x,y \in G 에 대해 μ(α+β,x)=μ(α,x)+μ(β,x)μ(α,x+y)=μ(α,x)+μ(α,y) \begin{align*} \mu \left( \alpha + \beta , x \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \beta , x \right) \\ \mu \left( \alpha , x + y \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \alpha , y \right) \end{align*}
  • (M2): ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in R 과 ∀x∈G\forall x \in G 에 대해 μ(α,μ(β,x))=μ(αβ,x) \mu \left( \alpha , \mu \left( \beta , x \right) \right) = \mu \left( \alpha \beta , x \right)
  • (M3): ∀x∈G\forall x \in G 에 대해 μ(1,x)=x \mu (1, x) = x

여기서 RR 을 그라운드 링ground ring 혹은 베이스 링base ring이라 부르기도 한다.

설명

여기서 μ\mu 를 스칼라 곱셈scalar multiplication이라 하고, 그 연산 결과인 원소인 스칼라 곱scalar product을 μ(α,x):=αx\mu (\alpha, x) := \alpha x 과 같이 나타낸다. 이 표현에 따라 위 세가지 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

  • (M1) 분배법칙: (α+β)x=αx+βxα(x+y)=αx+αy \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right) x =& \alpha x + \beta x \\ \alpha \left( x + y \right) =& \alpha x + \alpha y \end{align*}
  • (M2) 결합법칙: α(βx)=(αβ)x \alpha \left( \beta x \right) = \left( \alpha \beta \right) x
  • (M3) 항등원: 1x=x 1 x = x

이들은 초면이라도 스칼라 곱이라는 표현부터 시작해서 어딘가 낯설지가 않은데, 바로 선형대수에서 벡터공간의 정의로 지겹도록 본 것이기 때문이다. RR-모듈은 이러한 점에서 FF-벡터스페이스의 일반화다.

같이보기

아래의 문서에서 말하는 FF-벡터스페이스는 사실 위의 벡터공간들과 한 치의 차이도 없다. 다만 관점이 좀 다른데, 선형대수학에서의 벡터공간이 직관적인 유클리드 공간의 추상화고 추상대수학에서의 벡터공간은 그것을 진정한 의미의 ‘대수’로 가져오는 것으로 볼 수 있다.

반대로 RR-모듈은 FF-벡터스페이스의 스칼라 필드 FF 를 스칼라 링 RR 으로써 일반화하는데에 그 의미가 있고, 따라서 FF-벡터스페이스의 역사와 의미에 무관심한 네이밍으로 그 정체성을 보여주고 있다. 그룹 GG 의 입장에서 보자면 링 RR 과 새로운 연산 μ\mu 가 첨가添加된 것이므로 그 한역도 가군加群이다.

  1. Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra: p1. ↩︎