📂추상대수

추상대수학에서의 R-모듈

정의 ¹

아벨리안 그룹 $(G,+)$ 와 곱셈에 대한 항등원 $1 \ne 0$ 를 가지는 링 $(R,+,\cdot)$에 대해 이항연산 $$ \mu : R \times G \to G $$ 가 다음의 세가지 조건을 만족하면 $\left( G, +, R, \cdot ; \mu \right)$ 를 $R$-모듈^$R$-module이라 한다:

• (M1) 쌍가산성^{bi-additivity}: $\forall \alpha, \beta \in R$ 과 $\forall x,y \in G$ 에 대해 $$ \begin{align*} \mu \left( \alpha + \beta , x \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \beta , x \right) \\ \mu \left( \alpha , x + y \right) =& \mu \left( \alpha , x \right) + \mu \left( \alpha , y \right) \end{align*} $$
• (M2): $\forall \alpha, \beta \in R$ 과 $\forall x \in G$ 에 대해 $$ \mu \left( \alpha , \mu \left( \beta , x \right) \right) = \mu \left( \alpha \beta , x \right) $$
• (M3): $\forall x \in G$ 에 대해 $$ \mu (1, x) = x $$

여기서 $R$ 을 그라운드 링^{ground ring} 혹은 베이스 링^{base ring}이라 부르기도 한다.

설명

여기서 $\mu$ 를 스칼라 곱셈^{scalar multiplication}이라 하고, 그 연산 결과인 원소인 스칼라 곱^{scalar product}을 $\mu (\alpha, x) := \alpha x$ 과 같이 나타낸다. 이 표현에 따라 위 세가지 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다:

• (M1) 분배법칙: $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right) x =& \alpha x + \beta x \\ \alpha \left( x + y \right) =& \alpha x + \alpha y \end{align*} $$
• (M2) 결합법칙: $$ \alpha \left( \beta x \right) = \left( \alpha \beta \right) x $$
• (M3) 항등원: $$ 1 x = x $$

이들은 초면이라도 스칼라 곱이라는 표현부터 시작해서 어딘가 낯설지가 않은데, 바로 선형대수에서 벡터공간의 정의로 지겹도록 본 것이기 때문이다. $R$-모듈은 이러한 점에서 $F$-벡터스페이스의 일반화다.

같이보기

• 선형대수학에서의 벡터공간
• 추상대수학에서의 벡터공간

아래의 문서에서 말하는 $F$-벡터스페이스는 사실 위의 벡터공간들과 한 치의 차이도 없다. 다만 관점이 좀 다른데, 선형대수학에서의 벡터공간이 직관적인 유클리드 공간의 추상화고 추상대수학에서의 벡터공간은 그것을 진정한 의미의 ‘대수’로 가져오는 것으로 볼 수 있다.

반대로 $R$-모듈은 $F$-벡터스페이스의 스칼라 필드 $F$ 를 스칼라 링 $R$ 으로써 일반화하는데에 그 의미가 있고, 따라서 $F$-벡터스페이스의 역사와 의미에 무관심한 네이밍으로 그 정체성을 보여주고 있다. 그룹 $G$ 의 입장에서 보자면 링 $R$ 과 새로운 연산 $\mu$ 가 첨가^添加된 것이므로 그 한역도 가군^加群이다.

• 추상대수학에서의 $R$-모듈
• 추상대수학에서의 $F$-벡터스페이스