📂수리통계학

불편 검정력 함수와 최강력검정

정의 ¹

가설검정: $$ \begin{align*} H_{0} :& \theta \in \Theta_{0} \\ H_{1} :& \theta \in \Theta_{0}^{c} \end{align*} $$

1. 검정력 함수 $\beta (\theta)$가 모든 $\theta_{0} \in \Theta_{0}$ 와 $\theta_{1} \in \Theta_{0}^{c}$ 에 대해 다음을 만족하면 불편^unbiased 검정력 함수라 한다. $$ \beta \left( \theta_{0} \right) \le \beta \left( \theta_{1} \right) $$
2. $\mathcal{C}$ 가 위와 같은 가설검정을 모아놓은 집합이라고 하자. $\mathcal{C}$ 에서 검정력 함수 $\beta (\theta)$ 를 가진 가설검정 $A$ 가, 모든 $\theta \in \Theta_{0}^{c}$ 와 $\mathcal{C}$ 의 모든 가설검정의 검정력 함수 $\beta ' (\theta)$ 에 대해 $$ \beta ' (\theta) \le \beta (\theta) $$ 를 만족시키면 가설검정 $A \in \mathcal{C}$ 를 최강력검정^{(Uniformly) Most Powerful Test, UMP}이라 한다.

설명

불편 검정력 함수

$$ \beta (\theta) := P_{\theta} \left( \mathbf{X} \in \mathbb{R} \right) $$ 검정력 함수는 위와 같이 확률 $P$, 정확히는 $X$ 의 확률분포 와 기각역 $R$ 에 따라 달라지기 때문에 정의만으로는 $\beta$ 의 모양을 제대로 떠올리기 어렵다. 다만 상식적으로 좋은 검정력 함수가 갖추어야할 성질이 있다면, 귀무가설 하에서보다는 대립가설 하에서 검정력^{귀무가설을 기각하는 힘}이 더 높아야 할 것이다. $\theta_{0}$ 와 $\theta_{1}$ 이 어떻게 선택되든간에 얄짤없이 이를 만족시키는 성질을 검정력 함수의 불편성이라 하며, 이렇게 검정력 함수의 함숫값을 비교하는 컨셉은 다음의 최강력 검정으로 이어진다.

최강력 검정

최강… 말만 들어도 가슴뛰는 소년 만화가 아니라, 진짜 제일 강력한 가설검정이라는 뜻이다.

정의의 스테이트먼트에서 검정이 최강이라는 것은, 마땅히 귀무가설이 기각되어야할 모든 $\theta \in \Theta_{0}^{c}$ 들에 대해 그 어떤 검정력 함수 $\beta '$ 를 생각해봐도 최강력검정의 검정력 함수 $\beta$ 가 가장 강력한 검정력을 가진다는 말이다.