확률과정의 전이확률
정의
상태공간이 가산집합인 확률과정 $\left\{ X_{t} \right\}$ 가 주어져 있다고 하자.
- 두 시점 $t_{1} < t_{2}$ 에 대해 전이확률transition Probability $p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right) := P \left( X_{t_{2}} = j \mid X_{t_{1}} = i \right) $$ 이때 (현재) 상태를 의미하는 $i$ 를 소스 스테이트source State, 목표 상태를 의미하는 $j$ 를 타겟 스테이트target State라 한다. 특히 이산적 확률과정 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 에 대해 $t_{1} = n \in \mathbb{N}$ 이고 $t_{2} = n + k \in \mathbb{N}$ 이면 그 전이확률은 다음과 같이 간단하게 나타내기도 한다. $$ \begin{align*} p_{ij}^{(k)} :=& P \left(n + k = j \mid X_{n} = i \right) \\ p_{ij} :=& p_{ij}^{(1)} \end{align*} $$
- 시점에 상관없이 전이확률이 구간 $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ 에만 종속되어 있으면, 다시 말해 다음의 조건을 만족하면 정상stationary 혹은 동질homogeneous 전이확률이라 한다. $$ p_{ij} (\Delta t) := \left( X_{t_{2} - t_{1}} = j \mid X_{0} = i \right) $$
- 정상 전이확률에 대해 다음과 같이 정의된 행렬함수 $P(t)$ 와 $P^{(k)}$ 를 전이확률행렬이라 한다. $$ \begin{align*} \left( P(t) \right)_{ij} :=& \left( p_{ij} (t) \right) \\ \left( P^{(k)} \right)_{ij} :=& \left( p_{ij}^{(k)} \right) \end{align*} $$
- 연속적 확률과정의 전이확률행렬 $P(t)$ 가 미분가능한 행렬함수라고 하자. 다음과 같이 정의된 행렬 $$ Q := P’ (0) $$ 을 미분소 행렬infinitesimal Generator matrix이라 하고, 그 성분 $\left( Q \right)_{ij}$ 들을 전이율transition rate라 한다.