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확률과정의 전이확률 📂확률론

확률과정의 전이확률

정의

상태공간이 가산집합인 확률과정 {Xt}\left\{ X_{t} \right\} 가 주어져 있다고 하자.

  1. 두 시점 t1<t2t_{1} < t_{2} 에 대해 전이확률transition Probability pij(t1,t2)p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right) 를 다음과 같이 정의한다. pij(t1,t2):=P(Xt2=j∣Xt1=i) p_{ij} \left( t_{1} , t_{2} \right) := P \left( X_{t_{2}} = j \mid X_{t_{1}} = i \right) 이때 (현재) 상태를 의미하는 ii 를 소스 스테이트source State, 목표 상태를 의미하는 jj 를 타겟 스테이트target State라 한다. 특히 이산적 확률과정 {Xt}t∈N\left\{ X_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}} 에 대해 t1=n∈Nt_{1} = n \in \mathbb{N} 이고 t2=n+k∈Nt_{2} = n + k \in \mathbb{N} 이면 그 전이확률은 다음과 같이 간단하게 나타내기도 한다. pij(k):=P(n+k=j∣Xn=i)pij:=pij(1) \begin{align*} p_{ij}^{(k)} :=& P \left(n + k = j \mid X_{n} = i \right) \\ p_{ij} :=& p_{ij}^{(1)} \end{align*}
  2. 시점에 상관없이 전이확률이 구간 Δt=t2−t1\Delta t = t_{2} - t_{1} 에만 종속되어 있으면, 다시 말해 다음의 조건을 만족하면 정상stationary 혹은 동질homogeneous 전이확률이라 한다. pij(Δt):=(Xt2−t1=j∣X0=i) p_{ij} (\Delta t) := \left( X_{t_{2} - t_{1}} = j \mid X_{0} = i \right)
  3. 정상 전이확률에 대해 다음과 같이 정의된 행렬함수 P(t)P(t) 와 P(k)P^{(k)} 를 전이확률행렬이라 한다. (P(t))ij:=(pij(t))(P(k))ij:=(pij(k)) \begin{align*} \left( P(t) \right)_{ij} :=& \left( p_{ij} (t) \right) \\ \left( P^{(k)} \right)_{ij} :=& \left( p_{ij}^{(k)} \right) \end{align*}
  4. 연속적 확률과정의 전이확률행렬 P(t)P(t) 가 미분가능한 행렬함수라고 하자. 다음과 같이 정의된 행렬 Q:=P’(0) Q := P’ (0) 을 미분소 행렬infinitesimal Generator matrix이라 하고, 그 성분 (Q)ij\left( Q \right)_{ij} 들을 전이율transition rate라 한다.

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