📂수리통계학

지수족 확률분포의 완비통계량

정리 ¹

모수 $\mathbf{\theta} = \left( \theta_{1} , \cdots , \theta_{k} \right)$ 가 주어져 있고, 랜덤샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 의 확률밀도함수 혹은 확률질량함수가 다음과 같이 지수족확률분포를 따른다고 하자. $$f(x; \mathbf{\theta}) = h(x) c (\mathbf{\theta}) \exp \left( \sum_{i=1}^{k} w_{i} \left( \theta_{j} \right) t_{i} (x) \right)$$ 그러면 다음의 통계량 $T$ 는 완비통계량이다. $$T \left( \mathbf{X} \right) = \left( \sum_{i=1}^{n} t_{1} \left( X_{i} \right) , \cdots , \sum_{i=1}^{n} t_{k} \left( X_{i} \right) \right)$$

증명

라플라스 변환의 유일성에 따라 자명하다.

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