스케일 패밀리
정의
누적분포함수 $F$ 에 대해 $F_{\sigma}$ 는 모든 $x$ 에 대해 $F_{\sigma} (x) = F \left( x / \sigma \right)$ 를 만족한다고 하자.
$\left\{ F_{\sigma} : \sigma > 0 \right\}$ 을 스케일 패밀리scale Family라 한다.
예시 1
모수 $\sigma$ 에 대한 랜덤샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 을 생각해보면 누적분포함수 $F_{1} (x) = F ( x / 1) = F(x)$ 를 가지는 랜덤샘플 $Z_{1} , \cdots , Z_{n}$ 에 대해서 $$ X_{i} = \sigma Z_{i} $$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이 샘플의 어떤 통계량이 $$ {{ X_{1} } \over { X_{n} }} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} $$ 들만의 함수로 나타난다면 보조통계량이다. 상식적으로도 그럴 수밖에 없는 게, 스케일 파라미터 $\sigma$ 가 무엇이 되든 그 랜덤샘플의 비가 되면 분자-분모에서 서로 약분 될 것이기 때문이다. 실제로 저 비들의 조인트누적분포함수는 $$ \begin{align*} F \left( y_{1} , \cdots , y_{n} ; \sigma \right) =& P_{\sigma} \left( {{ X_{1} } \over { X_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ X_{n-1} } \over { X_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ \sigma Z_{1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ \sigma Z_{n-1} } \over { \sigma Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \\ =& P_{\sigma} \left( {{ Z_{1} } \over { Z_{n} }} \le y_{1} , \cdots , {{ Z_{n-1} } \over { Z_{n} }} \le y_{n-1} \right) \end{align*} $$ 으로 $\sigma$ 에 종속되어 있지 않다.
같이보기
Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p284. ↩︎