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로케이션 패밀리 📂수리통계학

로케이션 패밀리

정의

누적분포함수 FF 에 대해 FθF_{\theta} 는 모든 xx 에 대해 Fθ(x)=F(x−θ)F_{\theta} (x) = F \left( x - \theta \right) 를 만족한다고 하자.

{Fθ:θ∈R}\left\{ F_{\theta} : \theta \in \mathbb{R} \right\} 을 로케이션 패밀리location Family라 한다.

예시 1

모수 θ\theta 에 대한 랜덤샘플 X1,⋯ ,XnX_{1} , \cdots , X_{n} 을 생각해보면 누적분포함수 F0(x)=F(x−0)=F(x)F_{0} (x) = F (x - 0) = F(x) 를 가지는 랜덤샘플 Z1,⋯ ,ZnZ_{1} , \cdots , Z_{n} 에 대해서 Xi=Zi+θ X_{i} = Z_{i} + \theta 와 같이 나타낼 수 있다. 이 샘플의 통계량으로써 범위range의 길이 R=Xn−X(1)R = X_{n} - X_{(1)} 은 사실 θ\theta 가 어찌되든 일정해야할 것이다. θ\theta 는 단지 값의 크기를 증가시키거나 감소시킬 뿐, 그 산포도에는 영향을 미치지 않기 때문이다. 실제로 RR 의 조인트누적분포함수는 FR(r;θ)=Pθ(R≤r)=Pθ(X(n)−X(1)≤r)=Pθ(max⁡kXk−min⁡kXk≤r)=Pθ(max⁡k(Zk+θ)−min⁡k(Zk+θ)≤r)=Pθ(max⁡k(Zk)+θ−min⁡k(Zk)−θ≤r)=Pθ(Z(n)−Z(1)≤r) \begin{align*} F_{R} \left( r ; \theta \right) =& P_{\theta} \left( R \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( X_{(n)} - X_{(1)} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} X_{k} - \min_{k} X_{k} \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) - \min_{k} \left( Z_{k} + \theta \right) \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( \max_{k} \left( Z_{k} \right) + \theta - \min_{k} \left( Z_{k} \right) - \theta \le r \right) \\ =& P_{\theta} \left( Z_{(n)} - Z_{(1)} \le r \right) \end{align*} 이다. 다시 말해, RR 은 θ\theta 의 보조통계량이다.

같이보기

  1. Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition): p283. ↩︎