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최대절댓값 정리 증명 📂복소해석

최대절댓값 정리 증명

정리 1

함수 ff 가 단순폐경로 C\mathscr{C} 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자. 그러면 C\mathscr{C} 에서 f(z)|f(z)| 를 가장 크게 하는 z=z0z = z_{0}C\mathscr{C} 상에 존재한다.

설명

쉽게 말해 복소해석에서는 폐경로 내에서 f|f| 의 최댓값은 그 테두리에 존재한다는 것이다. 이쯤되면 직관적으로는 따라잡을 수가 없는 수준으로, 왜인지는 모르겠으나 참 신기하다는 말밖에 나오지 않는다. 체득을 위해서는 실제로 직접 여러가지 함수들을 생각해보고 사실임을 확인하는 것이 좋다.

보통 정리란 건 팩트로썬 받아들이기 쉬워도 증명을 이해하기가 어렵지만 최대-최소절댓값 정리는 오히려 그 반대다.절댓값이 쓰이다보니 실함수에서의 기하학적인 모양이 계속 떠올라 이해하는데 방해가 될 수 있다. 백 번 양보해서 어떤 함수가 있고 경로적분 구간의 테두리에 최대절댓값이 존재하는 건 그렇다 치더라도, 최솟절댓값 역시 같은 테두리에 있다고는 상상하기가 어렵다. 그러니 너무 모양에 신경쓰지 말고 위에서 설명했듯 직접 여러 함수에 적용시켜가며 받아들이도록 하자.

다음은 1f\displaystyle {{1} \over {f}} 를 생각해보면 당연한 것으로, 최대절댓값 정리에 의해 1f\displaystyle \left| {{1} \over {f}} \right| 를 가장 크게 하는 점이 C\mathscr{C} 상에 존재한다. 그 점은 바꿔 말하면 f|f| 를 가장 작게 하는 점이므로, 최소절댓값 정리를 연역해낼 수 있다.

최소절댓값 정리

함수 ff단순폐경로 C\mathscr{C} 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자.

C\mathscr{C} 내부에서 f(z)0|f(z)| \ne 0 이면 f(z)|f(z)| 를 가장 작게 하는 z=z0z = z_{0}C\mathscr{C} 상에 존재한다.

증명

f(z)|f(z)| 가 최대가 되는 점을 z=z0z = z_{0}C\mathscr{C} 내부에 존재한다고 가정하자. 그러면 실수의 조밀성에 의해 zz0=r|z - z_{0}| = rC\mathscr{C} 내부에 존재하도록 하는 r>0r>0 도 항상 존재한다.

한편 f(z0)\left| f(z_{0}) \right|z=z0z = z_{0} 에서 최댓값을 가지므로 f(z0+reiθ)f(z0)|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| \le \left| f(z_{0}) \right|인데, 어떤 점에서도 상수함수가 아니므로 f(z0+reiθ)<f(z0)|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| < \left| f(z_{0}) \right| 이어야한다.

가우스의 평균값 정리: 함수 ff 가 닫힌 zz0r| z - z_{0} | \le r 에서 해석적이면 f(z0)=12π02πf(z0+reiθ)dθf(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta

가우스의 평균값 정리에 의해 f(z0)=12π02πf(z0+reiθ)dθ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta 양변에 절댓값을 취하면 f(z0)=12π02πf(z0+reiθ)dθ12π02πf(z0+reiθ)dθ \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| =& \left| {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta \right| \\ \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \end{align*} 그런데 f(z0)12π02πf(z0+reiθ)dθ<12π02πf(z0)dθ=f(z0) \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \\ <& {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0}) | d \theta \\ =& \left| f(z_{0}) \right| \end{align*} 이므로 f(z0)<f(z0) \left| f(z_{0}) \right| < \left| f(z_{0}) \right| 이는 모순이므로, z=z0z=z_{0}C\mathscr{C} 내부에 존재할 수 없다.


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p95. ↩︎