함수f 가 단순폐경로 C 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자. 그러면 C 에서 ∣f(z)∣ 를 가장 크게 하는 z=z0 는 C 상에 존재한다.
설명
쉽게 말해 복소해석에서는 폐경로 내에서 ∣f∣ 의 최댓값은 그 테두리에 존재한다는 것이다. 이쯤되면 직관적으로는 따라잡을 수가 없는 수준으로, 왜인지는 모르겠으나 참 신기하다는 말밖에 나오지 않는다. 체득을 위해서는 실제로 직접 여러가지 함수들을 생각해보고 사실임을 확인하는 것이 좋다.
보통 정리란 건 팩트로썬 받아들이기 쉬워도 증명을 이해하기가 어렵지만 최대-최소절댓값 정리는 오히려 그 반대다.절댓값이 쓰이다보니 실함수에서의 기하학적인 모양이 계속 떠올라 이해하는데 방해가 될 수 있다. 백 번 양보해서 어떤 함수가 있고 경로적분 구간의 테두리에 최대절댓값이 존재하는 건 그렇다 치더라도, 최솟절댓값 역시 같은 테두리에 있다고는 상상하기가 어렵다. 그러니 너무 모양에 신경쓰지 말고 위에서 설명했듯 직접 여러 함수에 적용시켜가며 받아들이도록 하자.
다음은 f1 를 생각해보면 당연한 것으로, 최대절댓값 정리에 의해 f1 를 가장 크게 하는 점이 C 상에 존재한다. 그 점은 바꿔 말하면 ∣f∣ 를 가장 작게 하는 점이므로, 최소절댓값 정리를 연역해낼 수 있다.
최소절댓값 정리
함수f 가 단순폐경로C 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자.
C내부에서 ∣f(z)∣=0 이면 ∣f(z)∣ 를 가장 작게 하는 z=z0 는 C 상에 존재한다.
증명
∣f(z)∣ 가 최대가 되는 점을 z=z0 가 C내부에 존재한다고 가정하자. 그러면 실수의 조밀성에 의해 ∣z−z0∣=r 이 C내부에 존재하도록 하는 r>0 도 항상 존재한다.
한편 ∣f(z0)∣ 는 z=z0 에서 최댓값을 가지므로 ∣f(z0+reiθ)∣≤∣f(z0)∣인데, 어떤 점에서도 상수함수가 아니므로 ∣f(z0+reiθ)∣<∣f(z0)∣ 이어야한다.
가우스의 평균값 정리: 함수f 가 닫힌 원∣z−z0∣≤r 에서 해석적이면
f(z0)=2π1∫02πf(z0+reiθ)dθ
가우스의 평균값 정리에 의해
f(z0)=2π1∫02πf(z0+reiθ)dθ
양변에 절댓값을 취하면
∣f(z0)∣=≤2π1∫02πf(z0+reiθ)dθ2π1∫02π∣f(z0+reiθ)∣dθ
그런데
∣f(z0)∣≤<=2π1∫02π∣f(z0+reiθ)∣dθ2π1∫02π∣f(z0)∣dθ∣f(z0)∣
이므로
∣f(z0)∣<∣f(z0)∣
이는 모순이므로, z=z0 은 C내부에 존재할 수 없다.
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Osborne (1999). Complex variables and their applications: p95. ↩︎