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지시함수의 곱 📂보조정리

지시함수의 곱

정리

x1,⋯ ,xn∈Rx_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R} 과 상수 θ∈R\theta \in \mathbb{R} 에 대해 I⋅(xi)I_{\cdot} \left( x_{i} \right) 의 곱은 다음과 같다. ∏i=1nI[θ,∞)(xi)=I[θ,∞)(min⁡i∈[n]xi) \prod_{i=1}^{n} I_{[\theta,\infty)} \left( x_{i} \right) = I_{[\theta,\infty)} \left( \min_{i \in [n]} x_{i} \right)

  • IAI_{A} 는 집합 AA 에 대한 지시함수다. IA(x)={1,x∈A0,x∉A I_{A} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in A \\ 0 & , x \notin A \end{cases}

증명

몇 개의 xix_{i} 가 [θ,∞)[\theta , \infty) 에 속하든 제일 작은 min⁡xi\min x_{i} 가 θ\theta 보다 작으면 결국 00 이고, 아닌 부분은 11 의 곱이므로 모든 xix_{i} 를 고려할 필요가 없다.

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설명

반대방향

충분통계량에 관련된 정리의 증명에 필요하다. 당연하지만 반대방향으로써 다음의 정리를 생각해볼 수 있다. ∏i=1nI(−∞,θ](xi)=I(−∞,θ](max⁡i∈[n]xi) \prod_{i=1}^{n} I_{(-\infty, \theta]} \left( x_{i} \right) = I_{(-\infty, \theta]} \left( \max_{i \in [n]} x_{i} \right)

xx 가 고정된 경우

소개된 정리는 x1,⋯ ,xn∈Rx_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R} 가 변수고 집합은 고정되어있었다. 대신 xx 가 고정되어있고 A1,⋯ ,AnA_{1} , \cdots , A_{n} 가 변수일 때는 다음과 같은 지시함수의 곱을 생각할 수 있다. ∏i=1nIAi(x)=I⋂i=1nAi(x) \prod_{i=1}^{n} I_{A_{i}} (x) = I_{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}} (x)