가우스의 평균값 정리 증명
📂복소해석가우스의 평균값 정리 증명
정리
함수 f 가 닫힌 원 ∣z−z0∣≤r 에서 해석적이라고 하자. 그러면
f(z0)=2π1∫02πf(z0+reiθ)dθ
설명
미분의 평균값 정리가 일반화를 거치며 여러 수학자의 이름이 붙은 변형 정리를 낳았듯, 적분의 평균값 정리도 무려 가우스의 이름이 붙은 변형이 있다. 그 형태는 의심할나위 없는 적분의 평균값 정리지만 개념을 잘 생각해보면 마냥 당연하지만은 않은 정리다.
증명
코시 적분 공식:
f(z0)=2πi1∫C(z−z0)f(z)dz
코시 적분 공식에 의해
f(z0)=2πi1∫∣z−z0∣=r(z−z0)f(z)dz
z(θ)=reiθ+z0,0≤θ≤2π 으로 치환하면
f(z0)==2πi1∫02πreiθf(z0+reiθ)ireiθdθ2π1∫02πf(z0+reiθ)dθ
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