가우스의 평균값 정리 증명
정리
함수 $f$ 가 닫힌 원 $| z - z_{0} | \le r$ 에서 해석적이라고 하자. 그러면 $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta $$
설명
미분의 평균값 정리가 일반화를 거치며 여러 수학자의 이름이 붙은 변형 정리를 낳았듯, 적분의 평균값 정리도 무려 가우스의 이름이 붙은 변형이 있다. 그 형태는 의심할나위 없는 적분의 평균값 정리지만 개념을 잘 생각해보면 마냥 당연하지만은 않은 정리다.
증명
코시 적분 공식: $$f (z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz$$
코시 적분 공식에 의해 $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{ |z-z_{0} |= r } {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz $$ $z(\theta) = r e ^{ i \theta } + z_{0} , 0 \le \theta \le 2 \pi$ 으로 치환하면 $$ \begin{align*} f(z_{0}) =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{0}^{2 \pi} {{f( z_{0} + r e^{i \theta} )} \over { r e ^{ i \theta} }} i r e^{i \theta } d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} f( z_{0} + r e^{i \theta} ) d \theta \end{align*} $$
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